Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122106 / 115834
↖ ↑ ↗
← S 79.746999°
E155.374145°		 ← 54.36 m → S 79.746999°
E155.376892°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
S 79.747488°
E155.374145°		 ← 54.36 m →
2 958 m²		 S 79.747488°
E155.376892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931598663330078 y=0.883747100830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931598663330078 × 217)
    floor (0.931598663330078 × 131072)
    floor (122106.5)     		tx = 122106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883747100830078 × 217)
    floor (0.883747100830078 × 131072)
    floor (115834.5)     		ty = 115834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122106 / 115834 ti = "17/122106/115834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122106/115834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122106 ÷ 217
    122106 ÷ 131072     		x = 0.931594848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115834 ÷ 217
    115834 ÷ 131072     		y = 0.883743286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931594848632812 × 2 - 1) × π
    0.863189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71179041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883743286132812 × 2 - 1) × π
    -0.767486572265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41113017708958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71179041} λ = 2.71179041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41113017708958))-π/2
    2×atan(0.089713844722974)-π/2
    2×0.0894743109026298-π/2
    0.17894862180526-1.57079632675     		φ = -1.39184770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71179041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.374145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39184770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.746999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122106 KachelY 115834 2.71179041 -1.39184770 155.374145 -79.746999
    Oben rechts KachelX + 1 122107 KachelY 115834 2.71183835 -1.39184770 155.376892 -79.746999
    Unten links KachelX 122106 KachelY + 1 115835 2.71179041 -1.39185624 155.374145 -79.747488
    Unten rechts KachelX + 1 122107 KachelY + 1 115835 2.71183835 -1.39185624 155.376892 -79.747488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39184770--1.39185624) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dl = 54.4083400003621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39184770--1.39185624) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dr = 54.4083400003621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71179041-2.71183835) × cos(-1.39184770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177995087771434 × 6371000     		do = 54.3642813989196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71179041-2.71183835) × cos(-1.39185624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177986684136993 × 6371000     		du = 54.3617147126518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39184770)-sin(-1.39185624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177995087771434-0.177986684136993)×R²
    abs(2.71183835-2.71179041)×8.40363444076786e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.40363444076786e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.40363444076786e-06×40589641000000     		ar = 2957.80048180891m²