Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122105 / 115638
↖ ↑ ↗
← S 79.650735°
E155.371399°		 ← 54.87 m → S 79.650735°
E155.374145°		 →
↑
54.92 m
↓
↑
54.92 m
↓
S 79.651228°
E155.371399°		 ← 54.87 m →
3 013 m²		 S 79.651228°
E155.374145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931591033935547 y=0.882251739501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931591033935547 × 217)
    floor (0.931591033935547 × 131072)
    floor (122105.5)     		tx = 122105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882251739501953 × 217)
    floor (0.882251739501953 × 131072)
    floor (115638.5)     		ty = 115638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122105 / 115638 ti = "17/122105/115638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122105/115638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122105 ÷ 217
    122105 ÷ 131072     		x = 0.931587219238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115638 ÷ 217
    115638 ÷ 131072     		y = 0.882247924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931587219238281 × 2 - 1) × π
    0.863174438476562 × 3.1415926535     		Λ = 2.71174247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882247924804688 × 2 - 1) × π
    -0.764495849609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40173454476405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71174247} λ = 2.71174247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40173454476405))-π/2
    2×atan(0.0905607353287417)-π/2
    2×0.0903143761555594-π/2
    0.180628752311119-1.57079632675     		φ = -1.39016757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71174247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.371399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39016757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.650735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122105 KachelY 115638 2.71174247 -1.39016757 155.371399 -79.650735
    Oben rechts KachelX + 1 122106 KachelY 115638 2.71179041 -1.39016757 155.374145 -79.650735
    Unten links KachelX 122105 KachelY + 1 115639 2.71174247 -1.39017619 155.371399 -79.651228
    Unten rechts KachelX + 1 122106 KachelY + 1 115639 2.71179041 -1.39017619 155.374145 -79.651228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39016757--1.39017619) × R
    8.62000000001473e-06 × 6371000     		dl = 54.9180200000938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39016757--1.39017619) × R
    8.62000000001473e-06 × 6371000     		dr = 54.9180200000938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71174247-2.71179041) × cos(-1.39016757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179648136403685 × 6371000     		do = 54.8691650006805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71174247-2.71179041) × cos(-1.39017619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179639656636375 × 6371000     		du = 54.8665750614748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39016757)-sin(-1.39017619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179648136403685-0.179639656636375)×R²
    abs(2.71179041-2.71174247)×8.47976731030431e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.47976731030431e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.47976731030431e-06×40589641000000     		ar = 3013.23478377568m²