Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122104 / 115848
↖ ↑ ↗
← S 79.753841°
E155.368652°		 ← 54.32 m → S 79.753841°
E155.371399°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
S 79.754330°
E155.368652°		 ← 54.31 m →
2 952 m²		 S 79.754330°
E155.371399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931583404541016 y=0.883853912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931583404541016 × 217)
    floor (0.931583404541016 × 131072)
    floor (122104.5)     		tx = 122104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883853912353516 × 217)
    floor (0.883853912353516 × 131072)
    floor (115848.5)     		ty = 115848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122104 / 115848 ti = "17/122104/115848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122104/115848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122104 ÷ 217
    122104 ÷ 131072     		x = 0.93157958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115848 ÷ 217
    115848 ÷ 131072     		y = 0.88385009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93157958984375 × 2 - 1) × π
    0.8631591796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71169454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.7677001953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41180129368426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71169454} λ = 2.71169454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41180129368426))-π/2
    2×atan(0.0896536564719339)-π/2
    2×0.0894146028935801-π/2
    0.17882920578716-1.57079632675     		φ = -1.39196712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71169454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.368652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39196712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.753841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122104 KachelY 115848 2.71169454 -1.39196712 155.368652 -79.753841
    Oben rechts KachelX + 1 122105 KachelY 115848 2.71174247 -1.39196712 155.371399 -79.753841
    Unten links KachelX 122104 KachelY + 1 115849 2.71169454 -1.39197565 155.368652 -79.754330
    Unten rechts KachelX + 1 122105 KachelY + 1 115849 2.71174247 -1.39197565 155.371399 -79.754330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39196712--1.39197565) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dl = 54.3446300007493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39196712--1.39197565) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dr = 54.3446300007493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71169454-2.71174247) × cos(-1.39196712) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177877573475599 × 6371000     		do = 54.3170569280164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71169454-2.71174247) × cos(-1.39197565) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177869179500236 × 6371000     		du = 54.3144937266598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39196712)-sin(-1.39197565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177877573475599-0.177869179500236)×R²
    abs(2.71174247-2.71169454)×8.39397536289699e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.39397536289699e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.39397536289699e-06×40589641000000     		ar = 2951.77071321582m²