Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12210 / 20345
↖ ↑ ↗
← S 39.850721°
W 45.856934°		 ← 937.87 m → S 39.850721°
W 45.845947°		 →
↑
937.81 m
↓
↑
937.81 m
↓
S 39.859155°
W 45.856934°		 ← 937.76 m →
879 493 m²		 S 39.859155°
W 45.845947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372634887695312 y=0.620895385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372634887695312 × 215)
    floor (0.372634887695312 × 32768)
    floor (12210.5)     		tx = 12210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620895385742188 × 215)
    floor (0.620895385742188 × 32768)
    floor (20345.5)     		ty = 20345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12210 / 20345 ti = "15/12210/20345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12210/20345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12210 ÷ 215
    12210 ÷ 32768     		x = 0.37261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20345 ÷ 215
    20345 ÷ 32768     		y = 0.620880126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.2547607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80035448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620880126953125 × 2 - 1) × π
    -0.24176025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.75951223758017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80035448} λ = -0.80035448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75951223758017))-π/2
    2×atan(0.467894592758836)-π/2
    2×0.437635018688317-π/2
    0.875270037376634-1.57079632675     		φ = -0.69552629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80035448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.856934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69552629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.850721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12210 KachelY 20345 -0.80035448 -0.69552629 -45.856934 -39.850721
    Oben rechts KachelX + 1 12211 KachelY 20345 -0.80016273 -0.69552629 -45.845947 -39.850721
    Unten links KachelX 12210 KachelY + 1 20346 -0.80035448 -0.69567349 -45.856934 -39.859155
    Unten rechts KachelX + 1 12211 KachelY + 1 20346 -0.80016273 -0.69567349 -45.845947 -39.859155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69552629--0.69567349) × R
    0.000147200000000014 × 6371000     		dl = 937.811200000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69552629--0.69567349) × R
    0.000147200000000014 × 6371000     		dr = 937.811200000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80035448--0.80016273) × cos(-0.69552629) × R
    0.000191749999999935 × 0.767716566986454 × 6371000     		do = 937.872691105589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80035448--0.80016273) × cos(-0.69567349) × R
    0.000191749999999935 × 0.767622234444739 × 6371000     		du = 937.757450770078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69552629)-sin(-0.69567349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767716566986454-0.767622234444739)×R²
    abs(-0.80016273--0.80035448)×9.4332541714981e-05×R²
    0.000191749999999935×9.4332541714981e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.4332541714981e-05×40589641000000     		ar = 879493.478641884m²