Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12210 / 12659
↖ ↑ ↗
← S 69.557553°
E 88.286133°		 ← 853.35 m → S 69.557553°
E 88.308106°		 →
↑
853.20 m
↓
↑
853.20 m
↓
S 69.565226°
E 88.286133°		 ← 853.05 m →
727 955 m²		 S 69.565226°
E 88.308106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745269775390625 y=0.772674560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745269775390625 × 214)
    floor (0.745269775390625 × 16384)
    floor (12210.5)     		tx = 12210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772674560546875 × 214)
    floor (0.772674560546875 × 16384)
    floor (12659.5)     		ty = 12659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12210 / 12659 ti = "14/12210/12659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12210/12659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12210 ÷ 214
    12210 ÷ 16384     		x = 0.7452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12659 ÷ 214
    12659 ÷ 16384     		y = 0.77264404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7452392578125 × 2 - 1) × π
    0.490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54088370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.5452880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71307304482233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54088370} λ = 1.54088370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71307304482233))-π/2
    2×atan(0.180310837067954)-π/2
    2×0.178394003916722-π/2
    0.356788007833444-1.57079632675     		φ = -1.21400832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54088370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21400832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.557553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12210 KachelY 12659 1.54088370 -1.21400832 88.286133 -69.557553
    Oben rechts KachelX + 1 12211 KachelY 12659 1.54126720 -1.21400832 88.308106 -69.557553
    Unten links KachelX 12210 KachelY + 1 12660 1.54088370 -1.21414224 88.286133 -69.565226
    Unten rechts KachelX + 1 12211 KachelY + 1 12660 1.54126720 -1.21414224 88.308106 -69.565226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21400832--1.21414224) × R
    0.000133919999999899 × 6371000     		dl = 853.204319999354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21400832--1.21414224) × R
    0.000133919999999899 × 6371000     		dr = 853.204319999354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54088370-1.54126720) × cos(-1.21400832) × R
    0.000383500000000092 × 0.349266327018167 × 6371000     		do = 853.354907577662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54088370-1.54126720) × cos(-1.21414224) × R
    0.000383500000000092 × 0.349140837699934 × 6371000     		du = 853.048302224443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21400832)-sin(-1.21414224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349266327018167-0.349140837699934)×R²
    abs(1.54126720-1.54088370)×0.000125489318233141×R²
    0.000383500000000092×0.000125489318233141×6371000²
    0.000383500000000092×0.000125489318233141×40589641000000     		ar = 727955.296218816m²