Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122098 / 115858
↖ ↑ ↗
← S 79.758726°
E155.352173°		 ← 54.29 m → S 79.758726°
E155.354919°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
S 79.759214°
E155.352173°		 ← 54.29 m →
2 947 m²		 S 79.759214°
E155.354919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931537628173828 y=0.883930206298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931537628173828 × 217)
    floor (0.931537628173828 × 131072)
    floor (122098.5)     		tx = 122098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883930206298828 × 217)
    floor (0.883930206298828 × 131072)
    floor (115858.5)     		ty = 115858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122098 / 115858 ti = "17/122098/115858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122098/115858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122098 ÷ 217
    122098 ÷ 131072     		x = 0.931533813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115858 ÷ 217
    115858 ÷ 131072     		y = 0.883926391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931533813476562 × 2 - 1) × π
    0.863067626953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71140692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883926391601562 × 2 - 1) × π
    -0.767852783203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41228066268047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71140692} λ = 2.71140692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41228066268047))-π/2
    2×atan(0.0896106895879441)-π/2
    2×0.0893719784512311-π/2
    0.178743956902462-1.57079632675     		φ = -1.39205237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71140692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.352173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39205237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.758726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122098 KachelY 115858 2.71140692 -1.39205237 155.352173 -79.758726
    Oben rechts KachelX + 1 122099 KachelY 115858 2.71145485 -1.39205237 155.354919 -79.758726
    Unten links KachelX 122098 KachelY + 1 115859 2.71140692 -1.39206089 155.352173 -79.759214
    Unten rechts KachelX + 1 122099 KachelY + 1 115859 2.71145485 -1.39206089 155.354919 -79.759214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39205237--1.39206089) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39205237--1.39206089) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71140692-2.71145485) × cos(-1.39205237) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177793682343048 × 6371000     		do = 54.2914397614814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71140692-2.71145485) × cos(-1.39206089) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177785298079062 × 6371000     		du = 54.2888795256107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39205237)-sin(-1.39206089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177793682343048-0.177785298079062)×R²
    abs(2.71145485-2.71140692)×8.38426398563907e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.38426398563907e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.38426398563907e-06×40589641000000     		ar = 2946.91981240334m²