Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122096 / 115824
↖ ↑ ↗
← S 79.742109°
E155.346680°		 ← 54.39 m → S 79.742109°
E155.349426°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
S 79.742599°
E155.346680°		 ← 54.39 m →
2 959 m²		 S 79.742599°
E155.349426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931522369384766 y=0.883670806884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931522369384766 × 217)
    floor (0.931522369384766 × 131072)
    floor (122096.5)     		tx = 122096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883670806884766 × 217)
    floor (0.883670806884766 × 131072)
    floor (115824.5)     		ty = 115824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122096 / 115824 ti = "17/122096/115824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122096/115824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122096 ÷ 217
    122096 ÷ 131072     		x = 0.9315185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115824 ÷ 217
    115824 ÷ 131072     		y = 0.8836669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9315185546875 × 2 - 1) × π
    0.863037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71131104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8836669921875 × 2 - 1) × π
    -0.767333984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.41065080809338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71131104} λ = 2.71131104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41065080809338))-π/2
    2×atan(0.0897568610681915)-π/2
    2×0.0895169836285507-π/2
    0.179033967257101-1.57079632675     		φ = -1.39176236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71131104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39176236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.742109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122096 KachelY 115824 2.71131104 -1.39176236 155.346680 -79.742109
    Oben rechts KachelX + 1 122097 KachelY 115824 2.71135898 -1.39176236 155.349426 -79.742109
    Unten links KachelX 122096 KachelY + 1 115825 2.71131104 -1.39177090 155.346680 -79.742599
    Unten rechts KachelX + 1 122097 KachelY + 1 115825 2.71135898 -1.39177090 155.349426 -79.742599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39176236--1.39177090) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dl = 54.4083400003621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39176236--1.39177090) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dr = 54.4083400003621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71131104-2.71135898) × cos(-1.39176236) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178079064360789 × 6371000     		do = 54.3899300108659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71131104-2.71135898) × cos(-1.39177090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178070660856099 × 6371000     		du = 54.3873633642275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39176236)-sin(-1.39177090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178079064360789-0.178070660856099)×R²
    abs(2.71135898-2.71131104)×8.40350468975237e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.40350468975237e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.40350468975237e-06×40589641000000     		ar = 2959.19598114238m²