Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122092 / 115771
↖ ↑ ↗
← S 79.716154°
E155.335693°		 ← 54.53 m → S 79.716154°
E155.338440°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
S 79.716644°
E155.335693°		 ← 54.52 m →
2 970 m²		 S 79.716644°
E155.338440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931491851806641 y=0.883266448974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931491851806641 × 217)
    floor (0.931491851806641 × 131072)
    floor (122092.5)     		tx = 122092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883266448974609 × 217)
    floor (0.883266448974609 × 131072)
    floor (115771.5)     		ty = 115771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122092 / 115771 ti = "17/122092/115771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122092/115771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122092 ÷ 217
    122092 ÷ 131072     		x = 0.931488037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115771 ÷ 217
    115771 ÷ 131072     		y = 0.883262634277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931488037109375 × 2 - 1) × π
    0.86297607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71111929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883262634277344 × 2 - 1) × π
    -0.766525268554688 × 3.1415926535     		Φ = -2.40811015241352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71111929} λ = 2.71111929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40811015241352))-π/2
    2×atan(0.089985192279744)-π/2
    2×0.089743485429083-π/2
    0.179486970858166-1.57079632675     		φ = -1.39130936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71111929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.335693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39130936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.716154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122092 KachelY 115771 2.71111929 -1.39130936 155.335693 -79.716154
    Oben rechts KachelX + 1 122093 KachelY 115771 2.71116723 -1.39130936 155.338440 -79.716154
    Unten links KachelX 122092 KachelY + 1 115772 2.71111929 -1.39131791 155.335693 -79.716644
    Unten rechts KachelX + 1 122093 KachelY + 1 115772 2.71116723 -1.39131791 155.338440 -79.716644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39130936--1.39131791) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39130936--1.39131791) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71111929-2.71116723) × cos(-1.39130936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178524805404368 × 6371000     		do = 54.5260707989493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71111929-2.71116723) × cos(-1.39131791) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178516392750075 × 6371000     		du = 54.5235013577866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39130936)-sin(-1.39131791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178524805404368-0.178516392750075)×R²
    abs(2.71116723-2.71111929)×8.41265429285531e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.41265429285531e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.41265429285531e-06×40589641000000     		ar = 2970.07687338254m²