Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122091 / 115811
↖ ↑ ↗
← S 79.735749°
E155.332947°		 ← 54.41 m → S 79.735749°
E155.335693°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
S 79.736238°
E155.332947°		 ← 54.41 m →
2 960 m²		 S 79.736238°
E155.335693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931484222412109 y=0.883571624755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931484222412109 × 217)
    floor (0.931484222412109 × 131072)
    floor (122091.5)     		tx = 122091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883571624755859 × 217)
    floor (0.883571624755859 × 131072)
    floor (115811.5)     		ty = 115811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122091 / 115811 ti = "17/122091/115811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122091/115811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122091 ÷ 217
    122091 ÷ 131072     		x = 0.931480407714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115811 ÷ 217
    115811 ÷ 131072     		y = 0.883567810058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931480407714844 × 2 - 1) × π
    0.862960815429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.71107136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883567810058594 × 2 - 1) × π
    -0.767135620117188 × 3.1415926535     		Φ = -2.41002762839832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71107136} λ = 2.71107136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41002762839832))-π/2
    2×atan(0.0898128131537927)-π/2
    2×0.0895724882736005-π/2
    0.179144976547201-1.57079632675     		φ = -1.39165135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71107136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.332947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39165135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.735749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122091 KachelY 115811 2.71107136 -1.39165135 155.332947 -79.735749
    Oben rechts KachelX + 1 122092 KachelY 115811 2.71111929 -1.39165135 155.335693 -79.735749
    Unten links KachelX 122091 KachelY + 1 115812 2.71107136 -1.39165989 155.332947 -79.736238
    Unten rechts KachelX + 1 122092 KachelY + 1 115812 2.71111929 -1.39165989 155.335693 -79.736238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39165135--1.39165989) × R
    8.53999999983479e-06 × 6371000     		dl = 54.4083399989475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39165135--1.39165989) × R
    8.53999999983479e-06 × 6371000     		dr = 54.4083399989475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71107136-2.71111929) × cos(-1.39165135) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178188298899697 × 6371000     		do = 54.4119406742916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71107136-2.71111929) × cos(-1.39165989) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178179895563879 × 6371000     		du = 54.4093746146073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39165135)-sin(-1.39165989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178188298899697-0.178179895563879)×R²
    abs(2.71111929-2.71107136)×8.40333581828001e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.40333581828001e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.40333581828001e-06×40589641000000     		ar = 2960.39356075339m²