Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122087 / 115783
↖ ↑ ↗
← S 79.722036°
E155.321960°		 ← 54.50 m → S 79.722036°
E155.324707°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
S 79.722526°
E155.321960°		 ← 54.49 m →
2 968 m²		 S 79.722526°
E155.324707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931453704833984 y=0.883358001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931453704833984 × 217)
    floor (0.931453704833984 × 131072)
    floor (122087.5)     		tx = 122087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883358001708984 × 217)
    floor (0.883358001708984 × 131072)
    floor (115783.5)     		ty = 115783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122087 / 115783 ti = "17/122087/115783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122087/115783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122087 ÷ 217
    122087 ÷ 131072     		x = 0.931449890136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115783 ÷ 217
    115783 ÷ 131072     		y = 0.883354187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931449890136719 × 2 - 1) × π
    0.862899780273438 × 3.1415926535     		Λ = 2.71087961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883354187011719 × 2 - 1) × π
    -0.766708374023438 × 3.1415926535     		Φ = -2.40868539520896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71087961} λ = 2.71087961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40868539520896))-π/2
    2×atan(0.0899334438315767)-π/2
    2×0.0896921524026271-π/2
    0.179384304805254-1.57079632675     		φ = -1.39141202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71087961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.321960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39141202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.722036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122087 KachelY 115783 2.71087961 -1.39141202 155.321960 -79.722036
    Oben rechts KachelX + 1 122088 KachelY 115783 2.71092755 -1.39141202 155.324707 -79.722036
    Unten links KachelX 122087 KachelY + 1 115784 2.71087961 -1.39142057 155.321960 -79.722526
    Unten rechts KachelX + 1 122088 KachelY + 1 115784 2.71092755 -1.39142057 155.324707 -79.722526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39141202--1.39142057) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39141202--1.39142057) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71087961-2.71092755) × cos(-1.39141202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178423793654465 × 6371000     		do = 54.4952192104867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71087961-2.71092755) × cos(-1.39142057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178415380843522 × 6371000     		du = 54.4926497214787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39141202)-sin(-1.39142057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178423793654465-0.178415380843522)×R²
    abs(2.71092755-2.71087961)×8.41281094376978e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.41281094376978e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.41281094376978e-06×40589641000000     		ar = 2968.39632277266m²