Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122084 / 29026
↖ ↑ ↗
← N 70.287264°
E155.313721°		 ← 103.02 m → N 70.287264°
E155.316467°		 →
↑
103.02 m
↓
↑
103.02 m
↓
N 70.286338°
E155.313721°		 ← 103.03 m →
10 613 m²		 N 70.286338°
E155.316467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931430816650391 y=0.221454620361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931430816650391 × 217)
    floor (0.931430816650391 × 131072)
    floor (122084.5)     		tx = 122084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221454620361328 × 217)
    floor (0.221454620361328 × 131072)
    floor (29026.5)     		ty = 29026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122084 / 29026 ti = "17/122084/29026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122084/29026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122084 ÷ 217
    122084 ÷ 131072     		x = 0.931427001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29026 ÷ 217
    29026 ÷ 131072     		y = 0.221450805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931427001953125 × 2 - 1) × π
    0.86285400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71073580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221450805664062 × 2 - 1) × π
    0.557098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75017620512825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71073580} λ = 2.71073580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75017620512825))-π/2
    2×atan(5.7556167558487)-π/2
    2×1.39877025165743-π/2
    2.79754050331486-1.57079632675     		φ = 1.22674418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71073580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.313721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22674418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.287264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122084 KachelY 29026 2.71073580 1.22674418 155.313721 70.287264
    Oben rechts KachelX + 1 122085 KachelY 29026 2.71078374 1.22674418 155.316467 70.287264
    Unten links KachelX 122084 KachelY + 1 29027 2.71073580 1.22672801 155.313721 70.286338
    Unten rechts KachelX + 1 122085 KachelY + 1 29027 2.71078374 1.22672801 155.316467 70.286338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22674418-1.22672801) × R
    1.61700000000931e-05 × 6371000     		dl = 103.019070000593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22674418-1.22672801) × R
    1.61700000000931e-05 × 6371000     		dr = 103.019070000593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71073580-2.71078374) × cos(1.22674418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337304524075079 × 6371000     		do = 103.021483870911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71073580-2.71078374) × cos(1.22672801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337319746397681 × 6371000     		du = 103.026133160056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22674418)-sin(1.22672801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337304524075079-0.337319746397681)×R²
    abs(2.71078374-2.71073580)×1.52223226024262e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52223226024262e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52223226024262e-05×40589641000000     		ar = 10613.41694132m²