Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122084 / 115740
↖ ↑ ↗
← S 79.700943°
E155.313721°		 ← 54.61 m → S 79.700943°
E155.316467°		 →
↑
54.60 m
↓
↑
54.60 m
↓
S 79.701434°
E155.313721°		 ← 54.60 m →
2 981 m²		 S 79.701434°
E155.316467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931430816650391 y=0.883029937744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931430816650391 × 217)
    floor (0.931430816650391 × 131072)
    floor (122084.5)     		tx = 122084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883029937744141 × 217)
    floor (0.883029937744141 × 131072)
    floor (115740.5)     		ty = 115740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122084 / 115740 ti = "17/122084/115740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122084/115740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122084 ÷ 217
    122084 ÷ 131072     		x = 0.931427001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115740 ÷ 217
    115740 ÷ 131072     		y = 0.883026123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931427001953125 × 2 - 1) × π
    0.86285400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71073580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883026123046875 × 2 - 1) × π
    -0.76605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.4066241085253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71073580} λ = 2.71073580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4066241085253))-π/2
    2×atan(0.0901190136323366)-π/2
    2×0.0898762303026951-π/2
    0.17975246060539-1.57079632675     		φ = -1.39104387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71073580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.313721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39104387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.700943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122084 KachelY 115740 2.71073580 -1.39104387 155.313721 -79.700943
    Oben rechts KachelX + 1 122085 KachelY 115740 2.71078374 -1.39104387 155.316467 -79.700943
    Unten links KachelX 122084 KachelY + 1 115741 2.71073580 -1.39105244 155.313721 -79.701434
    Unten rechts KachelX + 1 122085 KachelY + 1 115741 2.71078374 -1.39105244 155.316467 -79.701434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39104387--1.39105244) × R
    8.56999999987451e-06 × 6371000     		dl = 54.5994699992005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39104387--1.39105244) × R
    8.56999999987451e-06 × 6371000     		dr = 54.5994699992005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71073580-2.71078374) × cos(-1.39104387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178786024122023 × 6371000     		do = 54.605853719091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71073580-2.71078374) × cos(-1.39105244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178777592195468 × 6371000     		du = 54.6032783916831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39104387)-sin(-1.39105244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178786024122023-0.178777592195468)×R²
    abs(2.71078374-2.71073580)×8.43192655552993e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.43192655552993e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.43192655552993e-06×40589641000000     		ar = 2981.38036617851m²