Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122083 / 29027
↖ ↑ ↗
← N 70.286338°
E155.310974°		 ← 103.03 m → N 70.286338°
E155.313721°		 →
↑
103.02 m
↓
↑
103.02 m
↓
N 70.285411°
E155.310974°		 ← 103.03 m →
10 614 m²		 N 70.285411°
E155.313721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931423187255859 y=0.221462249755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931423187255859 × 217)
    floor (0.931423187255859 × 131072)
    floor (122083.5)     		tx = 122083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221462249755859 × 217)
    floor (0.221462249755859 × 131072)
    floor (29027.5)     		ty = 29027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122083 / 29027 ti = "17/122083/29027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122083/29027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122083 ÷ 217
    122083 ÷ 131072     		x = 0.931419372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29027 ÷ 217
    29027 ÷ 131072     		y = 0.221458435058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931419372558594 × 2 - 1) × π
    0.862838745117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.71068786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221458435058594 × 2 - 1) × π
    0.557083129882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.75012826822863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71068786} λ = 2.71068786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75012826822863))-π/2
    2×atan(5.75534085603896)-π/2
    2×1.39876216680837-π/2
    2.79752433361675-1.57079632675     		φ = 1.22672801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71068786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.310974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22672801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.286338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122083 KachelY 29027 2.71068786 1.22672801 155.310974 70.286338
    Oben rechts KachelX + 1 122084 KachelY 29027 2.71073580 1.22672801 155.313721 70.286338
    Unten links KachelX 122083 KachelY + 1 29028 2.71068786 1.22671184 155.310974 70.285411
    Unten rechts KachelX + 1 122084 KachelY + 1 29028 2.71073580 1.22671184 155.313721 70.285411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22672801-1.22671184) × R
    1.6169999999871e-05 × 6371000     		dl = 103.019069999178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22672801-1.22671184) × R
    1.6169999999871e-05 × 6371000     		dr = 103.019069999178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71068786-2.71073580) × cos(1.22672801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337319746397681 × 6371000     		do = 103.026133160056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71068786-2.71073580) × cos(1.22671184) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337334968632085 × 6371000     		du = 103.030782422264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22672801)-sin(1.22671184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337319746397681-0.337334968632085)×R²
    abs(2.71073580-2.71068786)×1.52222344035891e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52222344035891e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52222344035891e-05×40589641000000     		ar = 10613.8959053233m²