Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122083 / 115741
↖ ↑ ↗
← S 79.701434°
E155.310974°		 ← 54.60 m → S 79.701434°
E155.313721°		 →
↑
54.60 m
↓
↑
54.60 m
↓
S 79.701925°
E155.310974°		 ← 54.60 m →
2 981 m²		 S 79.701925°
E155.313721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931423187255859 y=0.883037567138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931423187255859 × 217)
    floor (0.931423187255859 × 131072)
    floor (122083.5)     		tx = 122083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883037567138672 × 217)
    floor (0.883037567138672 × 131072)
    floor (115741.5)     		ty = 115741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122083 / 115741 ti = "17/122083/115741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122083/115741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122083 ÷ 217
    122083 ÷ 131072     		x = 0.931419372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115741 ÷ 217
    115741 ÷ 131072     		y = 0.883033752441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931419372558594 × 2 - 1) × π
    0.862838745117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.71068786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883033752441406 × 2 - 1) × π
    -0.766067504882812 × 3.1415926535     		Φ = -2.40667204542492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71068786} λ = 2.71068786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40667204542492))-π/2
    2×atan(0.0901146937097689)-π/2
    2×0.0898719451798131-π/2
    0.179743890359626-1.57079632675     		φ = -1.39105244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71068786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.310974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39105244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.701434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122083 KachelY 115741 2.71068786 -1.39105244 155.310974 -79.701434
    Oben rechts KachelX + 1 122084 KachelY 115741 2.71073580 -1.39105244 155.313721 -79.701434
    Unten links KachelX 122083 KachelY + 1 115742 2.71068786 -1.39106101 155.310974 -79.701925
    Unten rechts KachelX + 1 122084 KachelY + 1 115742 2.71073580 -1.39106101 155.313721 -79.701925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39105244--1.39106101) × R
    8.57000000009656e-06 × 6371000     		dl = 54.5994700006152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39105244--1.39106101) × R
    8.57000000009656e-06 × 6371000     		dr = 54.5994700006152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71068786-2.71073580) × cos(-1.39105244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178777592195468 × 6371000     		do = 54.6032783916831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71068786-2.71073580) × cos(-1.39106101) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178769160255782 × 6371000     		du = 54.6007030602649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39105244)-sin(-1.39106101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178777592195468-0.178769160255782)×R²
    abs(2.71073580-2.71068786)×8.43193968605438e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.43193968605438e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.43193968605438e-06×40589641000000     		ar = 2981.23975460755m²