Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122082 / 115746
↖ ↑ ↗
← S 79.703888°
E155.308228°		 ← 54.58 m → S 79.703888°
E155.310974°		 →
↑
54.60 m
↓
↑
54.60 m
↓
S 79.704379°
E155.308228°		 ← 54.58 m →
2 980 m²		 S 79.704379°
E155.310974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931415557861328 y=0.883075714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931415557861328 × 217)
    floor (0.931415557861328 × 131072)
    floor (122082.5)     		tx = 122082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883075714111328 × 217)
    floor (0.883075714111328 × 131072)
    floor (115746.5)     		ty = 115746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122082 / 115746 ti = "17/122082/115746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122082/115746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122082 ÷ 217
    122082 ÷ 131072     		x = 0.931411743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115746 ÷ 217
    115746 ÷ 131072     		y = 0.883071899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931411743164062 × 2 - 1) × π
    0.862823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71063993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883071899414062 × 2 - 1) × π
    -0.766143798828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.40691172992302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71063993} λ = 2.71063993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40691172992302))-π/2
    2×atan(0.090093097202913)-π/2
    2×0.0898505225967398-π/2
    0.17970104519348-1.57079632675     		φ = -1.39109528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71063993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.308228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39109528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.703888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122082 KachelY 115746 2.71063993 -1.39109528 155.308228 -79.703888
    Oben rechts KachelX + 1 122083 KachelY 115746 2.71068786 -1.39109528 155.310974 -79.703888
    Unten links KachelX 122082 KachelY + 1 115747 2.71063993 -1.39110385 155.308228 -79.704379
    Unten rechts KachelX + 1 122083 KachelY + 1 115747 2.71068786 -1.39110385 155.310974 -79.704379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39109528--1.39110385) × R
    8.56999999987451e-06 × 6371000     		dl = 54.5994699992005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39109528--1.39110385) × R
    8.56999999987451e-06 × 6371000     		dr = 54.5994699992005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71063993-2.71068786) × cos(-1.39109528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178735442204719 × 6371000     		do = 54.579017464614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71063993-2.71068786) × cos(-1.39110385) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178727010199406 × 6371000     		du = 54.5764426503547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39109528)-sin(-1.39110385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178735442204719-0.178727010199406)×R²
    abs(2.71068786-2.71063993)×8.43200531272514e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.43200531272514e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.43200531272514e-06×40589641000000     		ar = 2979.91513472279m²