Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122081 / 115889
↖ ↑ ↗
← S 79.773853°
E155.305481°		 ← 54.22 m → S 79.773853°
E155.308228°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
S 79.774340°
E155.305481°		 ← 54.22 m →
2 940 m²		 S 79.774340°
E155.308228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931407928466797 y=0.884166717529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931407928466797 × 217)
    floor (0.931407928466797 × 131072)
    floor (122081.5)     		tx = 122081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884166717529297 × 217)
    floor (0.884166717529297 × 131072)
    floor (115889.5)     		ty = 115889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122081 / 115889 ti = "17/122081/115889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122081/115889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122081 ÷ 217
    122081 ÷ 131072     		x = 0.931404113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115889 ÷ 217
    115889 ÷ 131072     		y = 0.884162902832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931404113769531 × 2 - 1) × π
    0.862808227539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.71059199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884162902832031 × 2 - 1) × π
    -0.768325805664062 × 3.1415926535     		Φ = -2.41376670656869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71059199} λ = 2.71059199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41376670656869))-π/2
    2×atan(0.0894776230661961)-π/2
    2×0.0892399703908839-π/2
    0.178479940781768-1.57079632675     		φ = -1.39231639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71059199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.305481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39231639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.773853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122081 KachelY 115889 2.71059199 -1.39231639 155.305481 -79.773853
    Oben rechts KachelX + 1 122082 KachelY 115889 2.71063993 -1.39231639 155.308228 -79.773853
    Unten links KachelX 122081 KachelY + 1 115890 2.71059199 -1.39232490 155.305481 -79.774340
    Unten rechts KachelX + 1 122082 KachelY + 1 115890 2.71063993 -1.39232490 155.308228 -79.774340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39231639--1.39232490) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39231639--1.39232490) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71059199-2.71063993) × cos(-1.39231639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177533862572637 × 6371000     		do = 54.2234113512705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71059199-2.71063993) × cos(-1.39232490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177525487750177 × 6371000     		du = 54.2208534649233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39231639)-sin(-1.39232490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177533862572637-0.177525487750177)×R²
    abs(2.71063993-2.71059199)×8.3748224600777e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.3748224600777e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.3748224600777e-06×40589641000000     		ar = 2939.77273942881m²