Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122080 / 115872
↖ ↑ ↗
← S 79.765560°
E155.302734°		 ← 54.27 m → S 79.765560°
E155.305481°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
S 79.766048°
E155.302734°		 ← 54.26 m →
2 946 m²		 S 79.766048°
E155.305481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931400299072266 y=0.884037017822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931400299072266 × 217)
    floor (0.931400299072266 × 131072)
    floor (122080.5)     		tx = 122080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884037017822266 × 217)
    floor (0.884037017822266 × 131072)
    floor (115872.5)     		ty = 115872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122080 / 115872 ti = "17/122080/115872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122080/115872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122080 ÷ 217
    122080 ÷ 131072     		x = 0.931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115872 ÷ 217
    115872 ÷ 131072     		y = 0.884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931396484375 × 2 - 1) × π
    0.86279296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71054405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884033203125 × 2 - 1) × π
    -0.76806640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41295177927515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71054405} λ = 2.71054405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41295177927515))-π/2
    2×atan(0.0895505705428017)-π/2
    2×0.0893123380021784-π/2
    0.178624676004357-1.57079632675     		φ = -1.39217165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71054405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39217165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.765560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122080 KachelY 115872 2.71054405 -1.39217165 155.302734 -79.765560
    Oben rechts KachelX + 1 122081 KachelY 115872 2.71059199 -1.39217165 155.305481 -79.765560
    Unten links KachelX 122080 KachelY + 1 115873 2.71054405 -1.39218017 155.302734 -79.766048
    Unten rechts KachelX + 1 122081 KachelY + 1 115873 2.71059199 -1.39218017 155.305481 -79.766048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39217165--1.39218017) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39217165--1.39218017) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71054405-2.71059199) × cos(-1.39217165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177676301473069 × 6371000     		do = 54.2669158578395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71054405-2.71059199) × cos(-1.39218017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177667917028461 × 6371000     		du = 54.2643550326408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39217165)-sin(-1.39218017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177676301473069-0.177667917028461)×R²
    abs(2.71059199-2.71054405)×8.3844446073511e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.3844446073511e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.3844446073511e-06×40589641000000     		ar = 2945.58861633701m²