Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12208 / 12750
↖ ↑ ↗
← S 70.244603°
E 88.242187°		 ← 825.84 m → S 70.244603°
E 88.264160°		 →
↑
825.68 m
↓
↑
825.68 m
↓
S 70.252029°
E 88.242187°		 ← 825.54 m →
681 759 m²		 S 70.252029°
E 88.264160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745147705078125 y=0.778228759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745147705078125 × 214)
    floor (0.745147705078125 × 16384)
    floor (12208.5)     		tx = 12208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778228759765625 × 214)
    floor (0.778228759765625 × 16384)
    floor (12750.5)     		ty = 12750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12208 / 12750 ti = "14/12208/12750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12208/12750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12208 ÷ 214
    12208 ÷ 16384     		x = 0.7451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12750 ÷ 214
    12750 ÷ 16384     		y = 0.7781982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7451171875 × 2 - 1) × π
    0.490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54011671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.556396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74797110774573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54011671} λ = 1.54011671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74797110774573))-π/2
    2×atan(0.174126869962173)-π/2
    2×0.172398356037804-π/2
    0.344796712075608-1.57079632675     		φ = -1.22599961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54011671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.242187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22599961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.244603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12208 KachelY 12750 1.54011671 -1.22599961 88.242187 -70.244603
    Oben rechts KachelX + 1 12209 KachelY 12750 1.54050021 -1.22599961 88.264160 -70.244603
    Unten links KachelX 12208 KachelY + 1 12751 1.54011671 -1.22612921 88.242187 -70.252029
    Unten rechts KachelX + 1 12209 KachelY + 1 12751 1.54050021 -1.22612921 88.264160 -70.252029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22599961--1.22612921) × R
    0.000129600000000174 × 6371000     		dl = 825.681600001109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22599961--1.22612921) × R
    0.000129600000000174 × 6371000     		dr = 825.681600001109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54011671-1.54050021) × cos(-1.22599961) × R
    0.000383500000000092 × 0.338005365427029 × 6371000     		do = 825.841242232701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54011671-1.54050021) × cos(-1.22612921) × R
    0.000383500000000092 × 0.337883390302675 × 6371000     		du = 825.543223033832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22599961)-sin(-1.22612921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338005365427029-0.337883390302675)×R²
    abs(1.54050021-1.54011671)×0.000121975124354246×R²
    0.000383500000000092×0.000121975124354246×6371000²
    0.000383500000000092×0.000121975124354246×40589641000000     		ar = 681758.884702363m²