Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12208 / 12660
↖ ↑ ↗
← S 69.565226°
E 88.242187°		 ← 853.05 m → S 69.565226°
E 88.264160°		 →
↑
852.89 m
↓
↑
852.89 m
↓
S 69.572896°
E 88.242187°		 ← 852.74 m →
727 422 m²		 S 69.572896°
E 88.264160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745147705078125 y=0.772735595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745147705078125 × 214)
    floor (0.745147705078125 × 16384)
    floor (12208.5)     		tx = 12208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772735595703125 × 214)
    floor (0.772735595703125 × 16384)
    floor (12660.5)     		ty = 12660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12208 / 12660 ti = "14/12208/12660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12208/12660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12208 ÷ 214
    12208 ÷ 16384     		x = 0.7451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12660 ÷ 214
    12660 ÷ 16384     		y = 0.772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7451171875 × 2 - 1) × π
    0.490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54011671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772705078125 × 2 - 1) × π
    -0.54541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71345654001929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54011671} λ = 1.54011671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71345654001929))-π/2
    2×atan(0.180241701985312)-π/2
    2×0.178327044968669-π/2
    0.356654089937337-1.57079632675     		φ = -1.21414224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54011671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.242187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21414224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.565226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12208 KachelY 12660 1.54011671 -1.21414224 88.242187 -69.565226
    Oben rechts KachelX + 1 12209 KachelY 12660 1.54050021 -1.21414224 88.264160 -69.565226
    Unten links KachelX 12208 KachelY + 1 12661 1.54011671 -1.21427611 88.242187 -69.572896
    Unten rechts KachelX + 1 12209 KachelY + 1 12661 1.54050021 -1.21427611 88.264160 -69.572896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21414224--1.21427611) × R
    0.00013386999999998 × 6371000     		dl = 852.885769999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21414224--1.21427611) × R
    0.00013386999999998 × 6371000     		dr = 852.885769999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54011671-1.54050021) × cos(-1.21414224) × R
    0.000383500000000092 × 0.349140837699934 × 6371000     		do = 853.048302224443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54011671-1.54050021) × cos(-1.21427611) × R
    0.000383500000000092 × 0.349015388975861 × 6371000     		du = 852.741796054064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21414224)-sin(-1.21427611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349140837699934-0.349015388975861)×R²
    abs(1.54050021-1.54011671)×0.000125448724072719×R²
    0.000383500000000092×0.000125448724072719×6371000²
    0.000383500000000092×0.000125448724072719×40589641000000     		ar = 727422.051801747m²