Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122079 / 115887
↖ ↑ ↗
← S 79.772877°
E155.299988°		 ← 54.22 m → S 79.772877°
E155.302734°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
S 79.773365°
E155.299988°		 ← 54.21 m →
2 943 m²		 S 79.773365°
E155.302734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931392669677734 y=0.884151458740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931392669677734 × 217)
    floor (0.931392669677734 × 131072)
    floor (122079.5)     		tx = 122079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884151458740234 × 217)
    floor (0.884151458740234 × 131072)
    floor (115887.5)     		ty = 115887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122079 / 115887 ti = "17/122079/115887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122079/115887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122079 ÷ 217
    122079 ÷ 131072     		x = 0.931388854980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115887 ÷ 217
    115887 ÷ 131072     		y = 0.884147644042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931388854980469 × 2 - 1) × π
    0.862777709960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.71049612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884147644042969 × 2 - 1) × π
    -0.768295288085938 × 3.1415926535     		Φ = -2.41367083276945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71049612} λ = 2.71049612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41367083276945))-π/2
    2×atan(0.0894862020371091)-π/2
    2×0.0892484812155162-π/2
    0.178496962431032-1.57079632675     		φ = -1.39229936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71049612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.299988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39229936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.772877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122079 KachelY 115887 2.71049612 -1.39229936 155.299988 -79.772877
    Oben rechts KachelX + 1 122080 KachelY 115887 2.71054405 -1.39229936 155.302734 -79.772877
    Unten links KachelX 122079 KachelY + 1 115888 2.71049612 -1.39230788 155.299988 -79.773365
    Unten rechts KachelX + 1 122080 KachelY + 1 115888 2.71054405 -1.39230788 155.302734 -79.773365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39229936--1.39230788) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39229936--1.39230788) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71049612-2.71054405) × cos(-1.39229936) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177550622020102 × 6371000     		do = 54.2172183678544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71049612-2.71054405) × cos(-1.39230788) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17754223738224 × 6371000     		du = 54.214658017816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39229936)-sin(-1.39230788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177550622020102-0.17754223738224)×R²
    abs(2.71054405-2.71049612)×8.38463786206889e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.38463786206889e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.38463786206889e-06×40589641000000     		ar = 2942.89100370124m²