Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122079 / 115745
↖ ↑ ↗
← S 79.703397°
E155.299988°		 ← 54.58 m → S 79.703397°
E155.302734°		 →
↑
54.60 m
↓
↑
54.60 m
↓
S 79.703888°
E155.299988°		 ← 54.58 m →
2 980 m²		 S 79.703888°
E155.302734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931392669677734 y=0.883068084716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931392669677734 × 217)
    floor (0.931392669677734 × 131072)
    floor (122079.5)     		tx = 122079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883068084716797 × 217)
    floor (0.883068084716797 × 131072)
    floor (115745.5)     		ty = 115745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122079 / 115745 ti = "17/122079/115745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122079/115745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122079 ÷ 217
    122079 ÷ 131072     		x = 0.931388854980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115745 ÷ 217
    115745 ÷ 131072     		y = 0.883064270019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931388854980469 × 2 - 1) × π
    0.862777709960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.71049612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883064270019531 × 2 - 1) × π
    -0.766128540039062 × 3.1415926535     		Φ = -2.4068637930234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71049612} λ = 2.71049612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4068637930234))-π/2
    2×atan(0.0900974160901862)-π/2
    2×0.089854806709207-π/2
    0.179709613418414-1.57079632675     		φ = -1.39108671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71049612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.299988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39108671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.703397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122079 KachelY 115745 2.71049612 -1.39108671 155.299988 -79.703397
    Oben rechts KachelX + 1 122080 KachelY 115745 2.71054405 -1.39108671 155.302734 -79.703397
    Unten links KachelX 122079 KachelY + 1 115746 2.71049612 -1.39109528 155.299988 -79.703888
    Unten rechts KachelX + 1 122080 KachelY + 1 115746 2.71054405 -1.39109528 155.302734 -79.703888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39108671--1.39109528) × R
    8.57000000009656e-06 × 6371000     		dl = 54.5994700006152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39108671--1.39109528) × R
    8.57000000009656e-06 × 6371000     		dr = 54.5994700006152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71049612-2.71054405) × cos(-1.39108671) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178743874196905 × 6371000     		do = 54.5815922748648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71049612-2.71054405) × cos(-1.39109528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178735442204719 × 6371000     		du = 54.579017464614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39108671)-sin(-1.39109528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178743874196905-0.178735442204719)×R²
    abs(2.71054405-2.71049612)×8.43199218575341e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.43199218575341e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.43199218575341e-06×40589641000000     		ar = 2980.05571847494m²