Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122076 / 115804
↖ ↑ ↗
← S 79.732323°
E155.291748°		 ← 54.44 m → S 79.732323°
E155.294495°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
S 79.732812°
E155.291748°		 ← 54.44 m →
2 962 m²		 S 79.732812°
E155.294495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931369781494141 y=0.883518218994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931369781494141 × 217)
    floor (0.931369781494141 × 131072)
    floor (122076.5)     		tx = 122076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883518218994141 × 217)
    floor (0.883518218994141 × 131072)
    floor (115804.5)     		ty = 115804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122076 / 115804 ti = "17/122076/115804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122076/115804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122076 ÷ 217
    122076 ÷ 131072     		x = 0.931365966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115804 ÷ 217
    115804 ÷ 131072     		y = 0.883514404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931365966796875 × 2 - 1) × π
    0.86273193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71035230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883514404296875 × 2 - 1) × π
    -0.76702880859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40969207010098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71035230} λ = 2.71035230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40969207010098))-π/2
    2×atan(0.0898429556454527)-π/2
    2×0.0896023894908764-π/2
    0.179204778981753-1.57079632675     		φ = -1.39159155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71035230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.291748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39159155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.732323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122076 KachelY 115804 2.71035230 -1.39159155 155.291748 -79.732323
    Oben rechts KachelX + 1 122077 KachelY 115804 2.71040024 -1.39159155 155.294495 -79.732323
    Unten links KachelX 122076 KachelY + 1 115805 2.71035230 -1.39160009 155.291748 -79.732812
    Unten rechts KachelX + 1 122077 KachelY + 1 115805 2.71040024 -1.39160009 155.294495 -79.732812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39159155--1.39160009) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dl = 54.4083400003621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39159155--1.39160009) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dr = 54.4083400003621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71035230-2.71040024) × cos(-1.39159155) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178247141566231 × 6371000     		do = 54.4412651157152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71035230-2.71040024) × cos(-1.39160009) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178238738321425 × 6371000     		du = 54.4386985484519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39159155)-sin(-1.39160009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178247141566231-0.178238738321425)×R²
    abs(2.71040024-2.71035230)×8.40324480627652e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.40324480627652e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.40324480627652e-06×40589641000000     		ar = 2961.98904121221m²