Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122076 / 115780
↖ ↑ ↗
← S 79.720566°
E155.291748°		 ← 54.50 m → S 79.720566°
E155.294495°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
S 79.721056°
E155.291748°		 ← 54.50 m →
2 969 m²		 S 79.721056°
E155.294495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931369781494141 y=0.883335113525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931369781494141 × 217)
    floor (0.931369781494141 × 131072)
    floor (122076.5)     		tx = 122076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883335113525391 × 217)
    floor (0.883335113525391 × 131072)
    floor (115780.5)     		ty = 115780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122076 / 115780 ti = "17/122076/115780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122076/115780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122076 ÷ 217
    122076 ÷ 131072     		x = 0.931365966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115780 ÷ 217
    115780 ÷ 131072     		y = 0.883331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931365966796875 × 2 - 1) × π
    0.86273193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71035230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883331298828125 × 2 - 1) × π
    -0.76666259765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.4085415845101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71035230} λ = 2.71035230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4085415845101))-π/2
    2×atan(0.0899463781530097)-π/2
    2×0.0897049829354728-π/2
    0.179409965870946-1.57079632675     		φ = -1.39138636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71035230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.291748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39138636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.720566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122076 KachelY 115780 2.71035230 -1.39138636 155.291748 -79.720566
    Oben rechts KachelX + 1 122077 KachelY 115780 2.71040024 -1.39138636 155.294495 -79.720566
    Unten links KachelX 122076 KachelY + 1 115781 2.71035230 -1.39139491 155.291748 -79.721056
    Unten rechts KachelX + 1 122077 KachelY + 1 115781 2.71040024 -1.39139491 155.294495 -79.721056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39138636--1.39139491) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39138636--1.39139491) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71035230-2.71040024) × cos(-1.39138636) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178449041848526 × 6371000     		do = 54.5029306588414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71035230-2.71040024) × cos(-1.39139491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178440629076729 × 6371000     		du = 54.5003611817898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39138636)-sin(-1.39139491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178449041848526-0.178440629076729)×R²
    abs(2.71040024-2.71035230)×8.41277179697286e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.41277179697286e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.41277179697286e-06×40589641000000     		ar = 2968.81638168049m²