Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122075 / 115813
↖ ↑ ↗
← S 79.736728°
E155.289002°		 ← 54.41 m → S 79.736728°
E155.291748°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
S 79.737217°
E155.289002°		 ← 54.40 m →
2 960 m²		 S 79.737217°
E155.291748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931362152099609 y=0.883586883544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931362152099609 × 217)
    floor (0.931362152099609 × 131072)
    floor (122075.5)     		tx = 122075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883586883544922 × 217)
    floor (0.883586883544922 × 131072)
    floor (115813.5)     		ty = 115813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122075 / 115813 ti = "17/122075/115813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122075/115813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122075 ÷ 217
    122075 ÷ 131072     		x = 0.931358337402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115813 ÷ 217
    115813 ÷ 131072     		y = 0.883583068847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931358337402344 × 2 - 1) × π
    0.862716674804688 × 3.1415926535     		Λ = 2.71030437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883583068847656 × 2 - 1) × π
    -0.767166137695312 × 3.1415926535     		Φ = -2.41012350219756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71030437} λ = 2.71030437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41012350219756))-π/2
    2×atan(0.089804202870932)-π/2
    2×0.0895639468819163-π/2
    0.179127893763833-1.57079632675     		φ = -1.39166843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71030437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.289002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39166843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.736728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122075 KachelY 115813 2.71030437 -1.39166843 155.289002 -79.736728
    Oben rechts KachelX + 1 122076 KachelY 115813 2.71035230 -1.39166843 155.291748 -79.736728
    Unten links KachelX 122075 KachelY + 1 115814 2.71030437 -1.39167697 155.289002 -79.737217
    Unten rechts KachelX + 1 122076 KachelY + 1 115814 2.71035230 -1.39167697 155.291748 -79.737217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39166843--1.39167697) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dl = 54.4083400003621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39166843--1.39167697) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dr = 54.4083400003621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71030437-2.71035230) × cos(-1.39166843) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178171492215065 × 6371000     		do = 54.4068085509548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71030437-2.71035230) × cos(-1.39167697) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178163088853258 × 6371000     		du = 54.4042424833344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39166843)-sin(-1.39167697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178171492215065-0.178163088853258)×R²
    abs(2.71035230-2.71030437)×8.40336180776835e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.40336180776835e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.40336180776835e-06×40589641000000     		ar = 2960.11433024396m²