Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122073 / 115815
↖ ↑ ↗
← S 79.737706°
E155.283508°		 ← 54.41 m → S 79.737706°
E155.286255°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
S 79.738195°
E155.283508°		 ← 54.41 m →
2 960 m²		 S 79.738195°
E155.286255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931346893310547 y=0.883602142333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931346893310547 × 217)
    floor (0.931346893310547 × 131072)
    floor (122073.5)     		tx = 122073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883602142333984 × 217)
    floor (0.883602142333984 × 131072)
    floor (115815.5)     		ty = 115815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122073 / 115815 ti = "17/122073/115815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122073/115815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122073 ÷ 217
    122073 ÷ 131072     		x = 0.931343078613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115815 ÷ 217
    115815 ÷ 131072     		y = 0.883598327636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931343078613281 × 2 - 1) × π
    0.862686157226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.71020849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883598327636719 × 2 - 1) × π
    -0.767196655273438 × 3.1415926535     		Φ = -2.4102193759968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71020849} λ = 2.71020849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4102193759968))-π/2
    2×atan(0.0897955934135324)-π/2
    2×0.089555406295987-π/2
    0.179110812591974-1.57079632675     		φ = -1.39168551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71020849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.283508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39168551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.737706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122073 KachelY 115815 2.71020849 -1.39168551 155.283508 -79.737706
    Oben rechts KachelX + 1 122074 KachelY 115815 2.71025643 -1.39168551 155.286255 -79.737706
    Unten links KachelX 122073 KachelY + 1 115816 2.71020849 -1.39169405 155.283508 -79.738195
    Unten rechts KachelX + 1 122074 KachelY + 1 115816 2.71025643 -1.39169405 155.286255 -79.738195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39168551--1.39169405) × R
    8.53999999983479e-06 × 6371000     		dl = 54.4083399989475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39168551--1.39169405) × R
    8.53999999983479e-06 × 6371000     		dr = 54.4083399989475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71020849-2.71025643) × cos(-1.39168551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178154685478456 × 6371000     		do = 54.413026646689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71020849-2.71025643) × cos(-1.39169405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178146282090662 × 6371000     		du = 54.4104600357534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39168551)-sin(-1.39169405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178154685478456-0.178146282090662)×R²
    abs(2.71025643-2.71020849)×8.40338779437011e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.40338779437011e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.40338779437011e-06×40589641000000     		ar = 2960.45263174786m²