Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122073 / 115800
↖ ↑ ↗
← S 79.730364°
E155.283508°		 ← 54.45 m → S 79.730364°
E155.286255°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
S 79.730854°
E155.283508°		 ← 54.45 m →
2 963 m²		 S 79.730854°
E155.286255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931346893310547 y=0.883487701416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931346893310547 × 217)
    floor (0.931346893310547 × 131072)
    floor (122073.5)     		tx = 122073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883487701416016 × 217)
    floor (0.883487701416016 × 131072)
    floor (115800.5)     		ty = 115800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122073 / 115800 ti = "17/122073/115800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122073/115800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122073 ÷ 217
    122073 ÷ 131072     		x = 0.931343078613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115800 ÷ 217
    115800 ÷ 131072     		y = 0.88348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931343078613281 × 2 - 1) × π
    0.862686157226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.71020849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88348388671875 × 2 - 1) × π
    -0.7669677734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.4095003225025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71020849} λ = 2.71020849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4095003225025))-π/2
    2×atan(0.0898601844681779)-π/2
    2×0.089619480334018-π/2
    0.179238960668036-1.57079632675     		φ = -1.39155737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71020849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.283508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39155737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.730364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122073 KachelY 115800 2.71020849 -1.39155737 155.283508 -79.730364
    Oben rechts KachelX + 1 122074 KachelY 115800 2.71025643 -1.39155737 155.286255 -79.730364
    Unten links KachelX 122073 KachelY + 1 115801 2.71020849 -1.39156591 155.283508 -79.730854
    Unten rechts KachelX + 1 122074 KachelY + 1 115801 2.71025643 -1.39156591 155.286255 -79.730854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39155737--1.39156591) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dl = 54.4083400003621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39155737--1.39156591) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dr = 54.4083400003621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71020849-2.71025643) × cos(-1.39155737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178280774095045 × 6371000     		do = 54.4515373557162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71020849-2.71025643) × cos(-1.39156591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178272370902272 × 6371000     		du = 54.4489708043452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39155737)-sin(-1.39156591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178280774095045-0.178272370902272)×R²
    abs(2.71025643-2.71020849)×8.40319277273238e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.40319277273238e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.40319277273238e-06×40589641000000     		ar = 2962.54793696612m²