Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122072 / 115767
↖ ↑ ↗
← S 79.714193°
E155.280762°		 ← 54.52 m → S 79.714193°
E155.283508°		 →
↑
54.54 m
↓
↑
54.54 m
↓
S 79.714683°
E155.280762°		 ← 54.52 m →
2 973 m²		 S 79.714683°
E155.283508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931339263916016 y=0.883235931396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931339263916016 × 217)
    floor (0.931339263916016 × 131072)
    floor (122072.5)     		tx = 122072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883235931396484 × 217)
    floor (0.883235931396484 × 131072)
    floor (115767.5)     		ty = 115767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122072 / 115767 ti = "17/122072/115767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122072/115767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122072 ÷ 217
    122072 ÷ 131072     		x = 0.93133544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115767 ÷ 217
    115767 ÷ 131072     		y = 0.883232116699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93133544921875 × 2 - 1) × π
    0.8626708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71016056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883232116699219 × 2 - 1) × π
    -0.766464233398438 × 3.1415926535     		Φ = -2.40791840481504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71016056} λ = 2.71016056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40791840481504))-π/2
    2×atan(0.0900024483786173)-π/2
    2×0.0897606028955176-π/2
    0.179521205791035-1.57079632675     		φ = -1.39127512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71016056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.280762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39127512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.714193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122072 KachelY 115767 2.71016056 -1.39127512 155.280762 -79.714193
    Oben rechts KachelX + 1 122073 KachelY 115767 2.71020849 -1.39127512 155.283508 -79.714193
    Unten links KachelX 122072 KachelY + 1 115768 2.71016056 -1.39128368 155.280762 -79.714683
    Unten rechts KachelX + 1 122073 KachelY + 1 115768 2.71020849 -1.39128368 155.283508 -79.714683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39127512--1.39128368) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dl = 54.5357599995877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39127512--1.39128368) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dr = 54.5357599995877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71016056-2.71020849) × cos(-1.39127512) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178558495248199 × 6371000     		do = 54.5249845827689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71016056-2.71020849) × cos(-1.39128368) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178550072806865 × 6371000     		du = 54.5224126889856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39127512)-sin(-1.39128368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178558495248199-0.178550072806865)×R²
    abs(2.71020849-2.71016056)×8.42244133389403e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.42244133389403e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.42244133389403e-06×40589641000000     		ar = 2973.49134310945m²