Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122071 / 115799
↖ ↑ ↗
← S 79.729874°
E155.278015°		 ← 54.45 m → S 79.729874°
E155.280762°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
S 79.730364°
E155.278015°		 ← 54.45 m →
2 966 m²		 S 79.730364°
E155.280762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931331634521484 y=0.883480072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931331634521484 × 217)
    floor (0.931331634521484 × 131072)
    floor (122071.5)     		tx = 122071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883480072021484 × 217)
    floor (0.883480072021484 × 131072)
    floor (115799.5)     		ty = 115799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122071 / 115799 ti = "17/122071/115799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122071/115799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122071 ÷ 217
    122071 ÷ 131072     		x = 0.931327819824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115799 ÷ 217
    115799 ÷ 131072     		y = 0.883476257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931327819824219 × 2 - 1) × π
    0.862655639648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.71011262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883476257324219 × 2 - 1) × π
    -0.766952514648438 × 3.1415926535     		Φ = -2.40945238560288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71011262} λ = 2.71011262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40945238560288))-π/2
    2×atan(0.0898644921900692)-π/2
    2×0.089623753548676-π/2
    0.179247507097352-1.57079632675     		φ = -1.39154882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71011262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.278015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39154882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.729874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122071 KachelY 115799 2.71011262 -1.39154882 155.278015 -79.729874
    Oben rechts KachelX + 1 122072 KachelY 115799 2.71016056 -1.39154882 155.280762 -79.729874
    Unten links KachelX 122071 KachelY + 1 115800 2.71011262 -1.39155737 155.278015 -79.730364
    Unten rechts KachelX + 1 122072 KachelY + 1 115800 2.71016056 -1.39155737 155.280762 -79.730364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39154882--1.39155737) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39154882--1.39155737) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71011262-2.71016056) × cos(-1.39154882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178289187114596 × 6371000     		do = 54.4541069084384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71011262-2.71016056) × cos(-1.39155737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178280774095045 × 6371000     		du = 54.4515373557162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39154882)-sin(-1.39155737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178289187114596-0.178280774095045)×R²
    abs(2.71016056-2.71011262)×8.41301955173401e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.41301955173401e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.41301955173401e-06×40589641000000     		ar = 2966.1568498366m²