Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12207 / 20304
↖ ↑ ↗
← S 39.504041°
W 45.889893°		 ← 942.59 m → S 39.504041°
W 45.878906°		 →
↑
942.53 m
↓
↑
942.53 m
↓
S 39.512517°
W 45.889893°		 ← 942.48 m →
888 363 m²		 S 39.512517°
W 45.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372543334960938 y=0.619644165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372543334960938 × 215)
    floor (0.372543334960938 × 32768)
    floor (12207.5)     		tx = 12207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619644165039062 × 215)
    floor (0.619644165039062 × 32768)
    floor (20304.5)     		ty = 20304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12207 / 20304 ti = "15/12207/20304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12207/20304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12207 ÷ 215
    12207 ÷ 32768     		x = 0.372528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20304 ÷ 215
    20304 ÷ 32768     		y = 0.61962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.25494384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80092972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61962890625 × 2 - 1) × π
    -0.2392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.75165058604248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80092972} λ = -0.80092972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75165058604248))-π/2
    2×atan(0.471587514214055)-π/2
    2×0.440660374328583-π/2
    0.881320748657166-1.57079632675     		φ = -0.68947558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80092972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.889893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68947558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.504041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12207 KachelY 20304 -0.80092972 -0.68947558 -45.889893 -39.504041
    Oben rechts KachelX + 1 12208 KachelY 20304 -0.80073797 -0.68947558 -45.878906 -39.504041
    Unten links KachelX 12207 KachelY + 1 20305 -0.80092972 -0.68962352 -45.889893 -39.512517
    Unten rechts KachelX + 1 12208 KachelY + 1 20305 -0.80073797 -0.68962352 -45.878906 -39.512517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68947558--0.68962352) × R
    0.000147940000000069 × 6371000     		dl = 942.525740000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68947558--0.68962352) × R
    0.000147940000000069 × 6371000     		dr = 942.525740000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80092972--0.80073797) × cos(-0.68947558) × R
    0.000191749999999935 × 0.771579721758282 × 6371000     		do = 942.592072603678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80092972--0.80073797) × cos(-0.68962352) × R
    0.000191749999999935 × 0.771485603852687 × 6371000     		du = 942.477094476075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68947558)-sin(-0.68962352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771579721758282-0.771485603852687)×R²
    abs(-0.80073797--0.80092972)×9.41179055949926e-05×R²
    0.000191749999999935×9.41179055949926e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.41179055949926e-05×40589641000000     		ar = 888363.107446604m²