Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122068 / 115797
↖ ↑ ↗
← S 79.728895°
E155.269775°		 ← 54.46 m → S 79.728895°
E155.272522°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
S 79.729384°
E155.269775°		 ← 54.46 m →
2 963 m²		 S 79.729384°
E155.272522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931308746337891 y=0.883464813232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931308746337891 × 217)
    floor (0.931308746337891 × 131072)
    floor (122068.5)     		tx = 122068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883464813232422 × 217)
    floor (0.883464813232422 × 131072)
    floor (115797.5)     		ty = 115797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122068 / 115797 ti = "17/122068/115797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122068/115797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122068 ÷ 217
    122068 ÷ 131072     		x = 0.931304931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115797 ÷ 217
    115797 ÷ 131072     		y = 0.883460998535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931304931640625 × 2 - 1) × π
    0.86260986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70996881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883460998535156 × 2 - 1) × π
    -0.766921997070312 × 3.1415926535     		Φ = -2.40935651180364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70996881} λ = 2.70996881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40935651180364))-π/2
    2×atan(0.089873108253373)-π/2
    2×0.0896323005827034-π/2
    0.179264601165407-1.57079632675     		φ = -1.39153173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70996881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.269775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39153173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.728895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122068 KachelY 115797 2.70996881 -1.39153173 155.269775 -79.728895
    Oben rechts KachelX + 1 122069 KachelY 115797 2.71001675 -1.39153173 155.272522 -79.728895
    Unten links KachelX 122068 KachelY + 1 115798 2.70996881 -1.39154027 155.269775 -79.729384
    Unten rechts KachelX + 1 122069 KachelY + 1 115798 2.71001675 -1.39154027 155.272522 -79.729384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39153173--1.39154027) × R
    8.53999999983479e-06 × 6371000     		dl = 54.4083399989475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39153173--1.39154027) × R
    8.53999999983479e-06 × 6371000     		dr = 54.4083399989475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70996881-2.71001675) × cos(-1.39153173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178306003274848 × 6371000     		do = 54.4592429966272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70996881-2.71001675) × cos(-1.39154027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178297600121115 × 6371000     		du = 54.4566764571799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39153173)-sin(-1.39154027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178306003274848-0.178297600121115)×R²
    abs(2.71001675-2.70996881)×8.40315373332179e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.40315373332179e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.40315373332179e-06×40589641000000     		ar = 2962.96718855236m²