Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122068 / 115781
↖ ↑ ↗
← S 79.721056°
E155.269775°		 ← 54.50 m → S 79.721056°
E155.272522°		 →
↑
54.54 m
↓
↑
54.54 m
↓
S 79.721546°
E155.269775°		 ← 54.50 m →
2 972 m²		 S 79.721546°
E155.272522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931308746337891 y=0.883342742919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931308746337891 × 217)
    floor (0.931308746337891 × 131072)
    floor (122068.5)     		tx = 122068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883342742919922 × 217)
    floor (0.883342742919922 × 131072)
    floor (115781.5)     		ty = 115781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122068 / 115781 ti = "17/122068/115781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122068/115781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122068 ÷ 217
    122068 ÷ 131072     		x = 0.931304931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115781 ÷ 217
    115781 ÷ 131072     		y = 0.883338928222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931304931640625 × 2 - 1) × π
    0.86260986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70996881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883338928222656 × 2 - 1) × π
    -0.766677856445312 × 3.1415926535     		Φ = -2.40858952140972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70996881} λ = 2.70996881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40858952140972))-π/2
    2×atan(0.0899420665058533)-π/2
    2×0.089700705889461-π/2
    0.179401411778922-1.57079632675     		φ = -1.39139491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70996881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.269775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39139491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.721056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122068 KachelY 115781 2.70996881 -1.39139491 155.269775 -79.721056
    Oben rechts KachelX + 1 122069 KachelY 115781 2.71001675 -1.39139491 155.272522 -79.721056
    Unten links KachelX 122068 KachelY + 1 115782 2.70996881 -1.39140347 155.269775 -79.721546
    Unten rechts KachelX + 1 122069 KachelY + 1 115782 2.71001675 -1.39140347 155.272522 -79.721546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39139491--1.39140347) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dl = 54.5357599995877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39139491--1.39140347) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dr = 54.5357599995877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70996881-2.71001675) × cos(-1.39139491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178440629076729 × 6371000     		do = 54.5003611817898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70996881-2.71001675) × cos(-1.39140347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178432206452366 × 6371000     		du = 54.4977886955109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39139491)-sin(-1.39140347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178440629076729-0.178432206452366)×R²
    abs(2.71001675-2.70996881)×8.42262436343e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.42262436343e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.42262436343e-06×40589641000000     		ar = 2972.14847117129m²