Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122066 / 115826
↖ ↑ ↗
← S 79.743087°
E155.264282°		 ← 54.37 m → S 79.743087°
E155.267029°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
S 79.743577°
E155.264282°		 ← 54.37 m →
2 958 m²		 S 79.743577°
E155.267029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931293487548828 y=0.883686065673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931293487548828 × 217)
    floor (0.931293487548828 × 131072)
    floor (122066.5)     		tx = 122066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883686065673828 × 217)
    floor (0.883686065673828 × 131072)
    floor (115826.5)     		ty = 115826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122066 / 115826 ti = "17/122066/115826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122066/115826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122066 ÷ 217
    122066 ÷ 131072     		x = 0.931289672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115826 ÷ 217
    115826 ÷ 131072     		y = 0.883682250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931289672851562 × 2 - 1) × π
    0.862579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70987294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883682250976562 × 2 - 1) × π
    -0.767364501953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41074668189262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70987294} λ = 2.70987294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41074668189262))-π/2
    2×atan(0.0897482561494128)-π/2
    2×0.0895084474729592-π/2
    0.179016894945918-1.57079632675     		φ = -1.39177943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70987294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.264282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39177943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.743087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122066 KachelY 115826 2.70987294 -1.39177943 155.264282 -79.743087
    Oben rechts KachelX + 1 122067 KachelY 115826 2.70992087 -1.39177943 155.267029 -79.743087
    Unten links KachelX 122066 KachelY + 1 115827 2.70987294 -1.39178797 155.264282 -79.743577
    Unten rechts KachelX + 1 122067 KachelY + 1 115827 2.70992087 -1.39178797 155.267029 -79.743577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39177943--1.39178797) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dl = 54.4083400003621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39177943--1.39178797) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dr = 54.4083400003621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70987294-2.70992087) × cos(-1.39177943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178062267178615 × 6371000     		do = 54.3734553720975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70987294-2.70992087) × cos(-1.39178797) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178053863647967 × 6371000     		du = 54.3708892529197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39177943)-sin(-1.39178797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178062267178615-0.178053863647967)×R²
    abs(2.70992087-2.70987294)×8.40353064790467e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.40353064790467e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.40353064790467e-06×40589641000000     		ar = 2958.29963777393m²