Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122066 / 115822
↖ ↑ ↗
← S 79.741131°
E155.264282°		 ← 54.38 m → S 79.741131°
E155.267029°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
S 79.741620°
E155.264282°		 ← 54.38 m →
2 955 m²		 S 79.741620°
E155.267029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931293487548828 y=0.883655548095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931293487548828 × 217)
    floor (0.931293487548828 × 131072)
    floor (122066.5)     		tx = 122066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883655548095703 × 217)
    floor (0.883655548095703 × 131072)
    floor (115822.5)     		ty = 115822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122066 / 115822 ti = "17/122066/115822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122066/115822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122066 ÷ 217
    122066 ÷ 131072     		x = 0.931289672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115822 ÷ 217
    115822 ÷ 131072     		y = 0.883651733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931289672851562 × 2 - 1) × π
    0.862579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70987294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883651733398438 × 2 - 1) × π
    -0.767303466796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41055493429414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70987294} λ = 2.70987294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41055493429414))-π/2
    2×atan(0.0897654668119961)-π/2
    2×0.0895255205894927-π/2
    0.179051041178985-1.57079632675     		φ = -1.39174529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70987294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.264282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39174529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.741131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122066 KachelY 115822 2.70987294 -1.39174529 155.264282 -79.741131
    Oben rechts KachelX + 1 122067 KachelY 115822 2.70992087 -1.39174529 155.267029 -79.741131
    Unten links KachelX 122066 KachelY + 1 115823 2.70987294 -1.39175382 155.264282 -79.741620
    Unten rechts KachelX + 1 122067 KachelY + 1 115823 2.70992087 -1.39175382 155.267029 -79.741620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39174529--1.39175382) × R
    8.52999999989557e-06 × 6371000     		dl = 54.3446299993346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39174529--1.39175382) × R
    8.52999999989557e-06 × 6371000     		dr = 54.3446299993346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70987294-2.70992087) × cos(-1.39174529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178095861491073 × 6371000     		do = 54.3837137995463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70987294-2.70992087) × cos(-1.39175382) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178087467852491 × 6371000     		du = 54.3811507010297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39174529)-sin(-1.39175382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178095861491073-0.178087467852491)×R²
    abs(2.70992087-2.70987294)×8.39363858240461e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.39363858240461e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.39363858240461e-06×40589641000000     		ar = 2955.39315905753m²