Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122066 / 115794
↖ ↑ ↗
← S 79.727426°
E155.264282°		 ← 54.46 m → S 79.727426°
E155.267029°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
S 79.727915°
E155.264282°		 ← 54.45 m →
2 966 m²		 S 79.727915°
E155.267029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931293487548828 y=0.883441925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931293487548828 × 217)
    floor (0.931293487548828 × 131072)
    floor (122066.5)     		tx = 122066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883441925048828 × 217)
    floor (0.883441925048828 × 131072)
    floor (115794.5)     		ty = 115794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122066 / 115794 ti = "17/122066/115794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122066/115794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122066 ÷ 217
    122066 ÷ 131072     		x = 0.931289672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115794 ÷ 217
    115794 ÷ 131072     		y = 0.883438110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931289672851562 × 2 - 1) × π
    0.862579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70987294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883438110351562 × 2 - 1) × π
    -0.766876220703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.40921270110478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70987294} λ = 2.70987294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40921270110478))-π/2
    2×atan(0.0898860338972803)-π/2
    2×0.0896451226456612-π/2
    0.179290245291322-1.57079632675     		φ = -1.39150608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70987294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.264282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39150608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.727426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122066 KachelY 115794 2.70987294 -1.39150608 155.264282 -79.727426
    Oben rechts KachelX + 1 122067 KachelY 115794 2.70992087 -1.39150608 155.267029 -79.727426
    Unten links KachelX 122066 KachelY + 1 115795 2.70987294 -1.39151463 155.264282 -79.727915
    Unten rechts KachelX + 1 122067 KachelY + 1 115795 2.70992087 -1.39151463 155.267029 -79.727915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39150608--1.39151463) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39150608--1.39151463) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70987294-2.70992087) × cos(-1.39150608) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178331242177137 × 6371000     		do = 54.4555901236654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70987294-2.70992087) × cos(-1.39151463) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178322829222743 × 6371000     		du = 54.4530211268334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39150608)-sin(-1.39151463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178331242177137-0.178322829222743)×R²
    abs(2.70992087-2.70987294)×8.41295439388268e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.41295439388268e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.41295439388268e-06×40589641000000     		ar = 2966.23765870481m²