Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122066 / 115762
↖ ↑ ↗
← S 79.711740°
E155.264282°		 ← 54.54 m → S 79.711740°
E155.267029°		 →
↑
54.54 m
↓
↑
54.54 m
↓
S 79.712231°
E155.264282°		 ← 54.54 m →
2 974 m²		 S 79.712231°
E155.267029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931293487548828 y=0.883197784423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931293487548828 × 217)
    floor (0.931293487548828 × 131072)
    floor (122066.5)     		tx = 122066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883197784423828 × 217)
    floor (0.883197784423828 × 131072)
    floor (115762.5)     		ty = 115762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122066 / 115762 ti = "17/122066/115762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122066/115762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122066 ÷ 217
    122066 ÷ 131072     		x = 0.931289672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115762 ÷ 217
    115762 ÷ 131072     		y = 0.883193969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931289672851562 × 2 - 1) × π
    0.862579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70987294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883193969726562 × 2 - 1) × π
    -0.766387939453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.40767872031694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70987294} λ = 2.70987294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40767872031694))-π/2
    2×atan(0.0900240231557513)-π/2
    2×0.089782004270522-π/2
    0.179564008541044-1.57079632675     		φ = -1.39123232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70987294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.264282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39123232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.711740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122066 KachelY 115762 2.70987294 -1.39123232 155.264282 -79.711740
    Oben rechts KachelX + 1 122067 KachelY 115762 2.70992087 -1.39123232 155.267029 -79.711740
    Unten links KachelX 122066 KachelY + 1 115763 2.70987294 -1.39124088 155.264282 -79.712231
    Unten rechts KachelX + 1 122067 KachelY + 1 115763 2.70992087 -1.39124088 155.267029 -79.712231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39123232--1.39124088) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dl = 54.5357599995877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39123232--1.39124088) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dr = 54.5357599995877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70987294-2.70992087) × cos(-1.39123232) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178600607258602 × 6371000     		do = 54.5378439917529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70987294-2.70992087) × cos(-1.39124088) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178592184882693 × 6371000     		du = 54.5352721179477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39123232)-sin(-1.39124088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178600607258602-0.178592184882693)×R²
    abs(2.70992087-2.70987294)×8.42237590958916e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.42237590958916e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.42237590958916e-06×40589641000000     		ar = 2974.19264130011m²