Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122062 / 115798
↖ ↑ ↗
← S 79.729384°
E155.253296°		 ← 54.45 m → S 79.729384°
E155.256042°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
S 79.729874°
E155.253296°		 ← 54.44 m →
2 966 m²		 S 79.729874°
E155.256042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931262969970703 y=0.883472442626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931262969970703 × 217)
    floor (0.931262969970703 × 131072)
    floor (122062.5)     		tx = 122062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883472442626953 × 217)
    floor (0.883472442626953 × 131072)
    floor (115798.5)     		ty = 115798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122062 / 115798 ti = "17/122062/115798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122062/115798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122062 ÷ 217
    122062 ÷ 131072     		x = 0.931259155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115798 ÷ 217
    115798 ÷ 131072     		y = 0.883468627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931259155273438 × 2 - 1) × π
    0.862518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70968119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883468627929688 × 2 - 1) × π
    -0.766937255859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40940444870326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70968119} λ = 2.70968119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40940444870326))-π/2
    2×atan(0.0898688001184643)-π/2
    2×0.0896280269649014-π/2
    0.179256053929803-1.57079632675     		φ = -1.39154027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70968119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.253296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39154027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.729384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122062 KachelY 115798 2.70968119 -1.39154027 155.253296 -79.729384
    Oben rechts KachelX + 1 122063 KachelY 115798 2.70972912 -1.39154027 155.256042 -79.729384
    Unten links KachelX 122062 KachelY + 1 115799 2.70968119 -1.39154882 155.253296 -79.729874
    Unten rechts KachelX + 1 122063 KachelY + 1 115799 2.70972912 -1.39154882 155.256042 -79.729874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39154027--1.39154882) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39154027--1.39154882) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70968119-2.70972912) × cos(-1.39154027) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178297600121115 × 6371000     		do = 54.4453171171452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70968119-2.70972912) × cos(-1.39154882) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178289187114596 × 6371000     		du = 54.4427481043963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39154027)-sin(-1.39154882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178297600121115-0.178289187114596)×R²
    abs(2.70972912-2.70968119)×8.41300651832633e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.41300651832633e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.41300651832633e-06×40589641000000     		ar = 2965.67806654834m²