Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122060 / 115836
↖ ↑ ↗
← S 79.747977°
E155.247802°		 ← 54.36 m → S 79.747977°
E155.250549°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
S 79.748466°
E155.247802°		 ← 54.36 m →
2 954 m²		 S 79.748466°
E155.250549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931247711181641 y=0.883762359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931247711181641 × 217)
    floor (0.931247711181641 × 131072)
    floor (122060.5)     		tx = 122060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883762359619141 × 217)
    floor (0.883762359619141 × 131072)
    floor (115836.5)     		ty = 115836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122060 / 115836 ti = "17/122060/115836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122060/115836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122060 ÷ 217
    122060 ÷ 131072     		x = 0.931243896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115836 ÷ 217
    115836 ÷ 131072     		y = 0.883758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931243896484375 × 2 - 1) × π
    0.86248779296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70958531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883758544921875 × 2 - 1) × π
    -0.76751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.41122605088882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70958531} λ = 2.70958531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41122605088882))-π/2
    2×atan(0.089705243928138)-π/2
    2×0.0894657787726892-π/2
    0.178931557545378-1.57079632675     		φ = -1.39186477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70958531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.247802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39186477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.747977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122060 KachelY 115836 2.70958531 -1.39186477 155.247802 -79.747977
    Oben rechts KachelX + 1 122061 KachelY 115836 2.70963325 -1.39186477 155.250549 -79.747977
    Unten links KachelX 122060 KachelY + 1 115837 2.70958531 -1.39187330 155.247802 -79.748466
    Unten rechts KachelX + 1 122061 KachelY + 1 115837 2.70963325 -1.39187330 155.250549 -79.748466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39186477--1.39187330) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dl = 54.3446300007493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39186477--1.39187330) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dr = 54.3446300007493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70958531-2.70963325) × cos(-1.39186477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177978290329916 × 6371000     		do = 54.3591510279138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70958531-2.70963325) × cos(-1.39187330) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177969896509889 × 6371000     		du = 54.3565873392206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39186477)-sin(-1.39187330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177978290329916-0.177969896509889)×R²
    abs(2.70963325-2.70958531)×8.39382002737477e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.39382002737477e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.39382002737477e-06×40589641000000     		ar = 2954.05828828824m²