Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12206 / 20590
↖ ↑ ↗
← S 41.885921°
W 45.900879°		 ← 909.48 m → S 41.885921°
W 45.889893°		 →
↑
909.40 m
↓
↑
909.40 m
↓
S 41.894099°
W 45.900879°		 ← 909.36 m →
827 026 m²		 S 41.894099°
W 45.889893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372512817382812 y=0.628372192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372512817382812 × 215)
    floor (0.372512817382812 × 32768)
    floor (12206.5)     		tx = 12206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628372192382812 × 215)
    floor (0.628372192382812 × 32768)
    floor (20590.5)     		ty = 20590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12206 / 20590 ti = "15/12206/20590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12206/20590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12206 ÷ 215
    12206 ÷ 32768     		x = 0.37249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20590 ÷ 215
    20590 ÷ 32768     		y = 0.62835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37249755859375 × 2 - 1) × π
    -0.2550048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80112147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.2567138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.806490399207825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80112147} λ = -0.80112147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806490399207825))-π/2
    2×atan(0.446422083377113)-π/2
    2×0.419874547320278-π/2
    0.839749094640556-1.57079632675     		φ = -0.73104723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80112147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73104723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.885921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12206 KachelY 20590 -0.80112147 -0.73104723 -45.900879 -41.885921
    Oben rechts KachelX + 1 12207 KachelY 20590 -0.80092972 -0.73104723 -45.889893 -41.885921
    Unten links KachelX 12206 KachelY + 1 20591 -0.80112147 -0.73118997 -45.900879 -41.894099
    Unten rechts KachelX + 1 12207 KachelY + 1 20591 -0.80092972 -0.73118997 -45.889893 -41.894099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73104723--0.73118997) × R
    0.000142739999999919 × 6371000     		dl = 909.396539999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73104723--0.73118997) × R
    0.000142739999999919 × 6371000     		dr = 909.396539999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80112147--0.80092972) × cos(-0.73104723) × R
    0.000191750000000046 × 0.744475627971783 × 6371000     		do = 909.480647798946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80112147--0.80092972) × cos(-0.73118997) × R
    0.000191750000000046 × 0.744380320078517 × 6371000     		du = 909.364215935698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73104723)-sin(-0.73118997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744475627971783-0.744380320078517)×R²
    abs(-0.80092972--0.80112147)×9.53078932661722e-05×R²
    0.000191750000000046×9.53078932661722e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.53078932661722e-05×40589641000000     		ar = 827025.614342614m²