Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12206 / 20342
↖ ↑ ↗
← S 39.825413°
W 45.900879°		 ← 938.22 m → S 39.825413°
W 45.889893°		 →
↑
938.19 m
↓
↑
938.19 m
↓
S 39.833850°
W 45.900879°		 ← 938.10 m →
880 176 m²		 S 39.833850°
W 45.889893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372512817382812 y=0.620803833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372512817382812 × 215)
    floor (0.372512817382812 × 32768)
    floor (12206.5)     		tx = 12206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620803833007812 × 215)
    floor (0.620803833007812 × 32768)
    floor (20342.5)     		ty = 20342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12206 / 20342 ti = "15/12206/20342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12206/20342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12206 ÷ 215
    12206 ÷ 32768     		x = 0.37249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20342 ÷ 215
    20342 ÷ 32768     		y = 0.62078857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37249755859375 × 2 - 1) × π
    -0.2550048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80112147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62078857421875 × 2 - 1) × π
    -0.2415771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.758936994784729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80112147} λ = -0.80112147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.758936994784729))-π/2
    2×atan(0.468163823181353)-π/2
    2×0.43785587109495-π/2
    0.875711742189901-1.57079632675     		φ = -0.69508458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80112147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69508458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.825413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12206 KachelY 20342 -0.80112147 -0.69508458 -45.900879 -39.825413
    Oben rechts KachelX + 1 12207 KachelY 20342 -0.80092972 -0.69508458 -45.889893 -39.825413
    Unten links KachelX 12206 KachelY + 1 20343 -0.80112147 -0.69523184 -45.900879 -39.833850
    Unten rechts KachelX + 1 12207 KachelY + 1 20343 -0.80092972 -0.69523184 -45.889893 -39.833850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69508458--0.69523184) × R
    0.000147260000000093 × 6371000     		dl = 938.193460000595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69508458--0.69523184) × R
    0.000147260000000093 × 6371000     		dr = 938.193460000595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80112147--0.80092972) × cos(-0.69508458) × R
    0.000191750000000046 × 0.767999535244415 × 6371000     		do = 938.218376236562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80112147--0.80092972) × cos(-0.69523184) × R
    0.000191750000000046 × 0.767905214191737 × 6371000     		du = 938.103149936508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69508458)-sin(-0.69523184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767999535244415-0.767905214191737)×R²
    abs(-0.80092972--0.80112147)×9.4321052678481e-05×R²
    0.000191750000000046×9.4321052678481e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.4321052678481e-05×40589641000000     		ar = 880176.293947405m²