Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122058 / 115786
↖ ↑ ↗
← S 79.723507°
E155.242310°		 ← 54.49 m → S 79.723507°
E155.245056°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
S 79.723996°
E155.242310°		 ← 54.48 m →
2 968 m²		 S 79.723996°
E155.245056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931232452392578 y=0.883380889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931232452392578 × 217)
    floor (0.931232452392578 × 131072)
    floor (122058.5)     		tx = 122058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883380889892578 × 217)
    floor (0.883380889892578 × 131072)
    floor (115786.5)     		ty = 115786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122058 / 115786 ti = "17/122058/115786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122058/115786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122058 ÷ 217
    122058 ÷ 131072     		x = 0.931228637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115786 ÷ 217
    115786 ÷ 131072     		y = 0.883377075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931228637695312 × 2 - 1) × π
    0.862457275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.70948944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883377075195312 × 2 - 1) × π
    -0.766754150390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40882920590782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70948944} λ = 2.70948944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40882920590782))-π/2
    2×atan(0.0899205113701038)-π/2
    2×0.0896793236852128-π/2
    0.179358647370426-1.57079632675     		φ = -1.39143768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70948944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.242310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39143768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.723507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122058 KachelY 115786 2.70948944 -1.39143768 155.242310 -79.723507
    Oben rechts KachelX + 1 122059 KachelY 115786 2.70953738 -1.39143768 155.245056 -79.723507
    Unten links KachelX 122058 KachelY + 1 115787 2.70948944 -1.39144623 155.242310 -79.723996
    Unten rechts KachelX + 1 122059 KachelY + 1 115787 2.70953738 -1.39144623 155.245056 -79.723996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39143768--1.39144623) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39143768--1.39144623) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70948944-2.70953738) × cos(-1.39143768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178398545342924 × 6371000     		do = 54.4875077262503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70948944-2.70953738) × cos(-1.39144623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178390132492839 × 6371000     		du = 54.4849382252876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39143768)-sin(-1.39144623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178398545342924-0.178390132492839)×R²
    abs(2.70953738-2.70948944)×8.41285008498782e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.41285008498782e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.41285008498782e-06×40589641000000     		ar = 2967.97626235258m²