Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122051 / 115735
↖ ↑ ↗
← S 79.698487°
E155.223083°		 ← 54.62 m → S 79.698487°
E155.225830°		 →
↑
54.60 m
↓
↑
54.60 m
↓
S 79.698978°
E155.223083°		 ← 54.62 m →
2 982 m²		 S 79.698978°
E155.225830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931179046630859 y=0.882991790771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931179046630859 × 217)
    floor (0.931179046630859 × 131072)
    floor (122051.5)     		tx = 122051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882991790771484 × 217)
    floor (0.882991790771484 × 131072)
    floor (115735.5)     		ty = 115735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122051 / 115735 ti = "17/122051/115735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122051/115735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122051 ÷ 217
    122051 ÷ 131072     		x = 0.931175231933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115735 ÷ 217
    115735 ÷ 131072     		y = 0.882987976074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931175231933594 × 2 - 1) × π
    0.862350463867188 × 3.1415926535     		Λ = 2.70915388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882987976074219 × 2 - 1) × π
    -0.765975952148438 × 3.1415926535     		Φ = -2.4063844240272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70915388} λ = 2.70915388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4063844240272))-π/2
    2×atan(0.0901406163517034)-π/2
    2×0.0898976589489487-π/2
    0.179795317897897-1.57079632675     		φ = -1.39100101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70915388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.223083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39100101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.698487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122051 KachelY 115735 2.70915388 -1.39100101 155.223083 -79.698487
    Oben rechts KachelX + 1 122052 KachelY 115735 2.70920182 -1.39100101 155.225830 -79.698487
    Unten links KachelX 122051 KachelY + 1 115736 2.70915388 -1.39100958 155.223083 -79.698978
    Unten rechts KachelX + 1 122052 KachelY + 1 115736 2.70920182 -1.39100958 155.225830 -79.698978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39100101--1.39100958) × R
    8.56999999987451e-06 × 6371000     		dl = 54.5994699992005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39100101--1.39100958) × R
    8.56999999987451e-06 × 6371000     		dr = 54.5994699992005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70915388-2.70920182) × cos(-1.39100101) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178828193396628 × 6371000     		do = 54.6187333009925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70915388-2.70920182) × cos(-1.39100958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178819761535749 × 6371000     		du = 54.6161579936439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39100101)-sin(-1.39100958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178828193396628-0.178819761535749)×R²
    abs(2.70920182-2.70915388)×8.43186087942649e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.43186087942649e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.43186087942649e-06×40589641000000     		ar = 2982.08358497915m²