Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122050 / 115737
↖ ↑ ↗
← S 79.699469°
E155.220337°		 ← 54.60 m → S 79.699469°
E155.223083°		 →
↑
54.60 m
↓
↑
54.60 m
↓
S 79.699960°
E155.220337°		 ← 54.60 m →
2 981 m²		 S 79.699960°
E155.223083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931171417236328 y=0.883007049560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931171417236328 × 217)
    floor (0.931171417236328 × 131072)
    floor (122050.5)     		tx = 122050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883007049560547 × 217)
    floor (0.883007049560547 × 131072)
    floor (115737.5)     		ty = 115737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122050 / 115737 ti = "17/122050/115737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122050/115737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122050 ÷ 217
    122050 ÷ 131072     		x = 0.931167602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115737 ÷ 217
    115737 ÷ 131072     		y = 0.883003234863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931167602539062 × 2 - 1) × π
    0.862335205078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70910595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883003234863281 × 2 - 1) × π
    -0.766006469726562 × 3.1415926535     		Φ = -2.40648029782644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70910595} λ = 2.70910595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40648029782644))-π/2
    2×atan(0.0901319746426113)-π/2
    2×0.0898890868840417-π/2
    0.179778173768083-1.57079632675     		φ = -1.39101815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70910595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.220337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39101815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.699469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122050 KachelY 115737 2.70910595 -1.39101815 155.220337 -79.699469
    Oben rechts KachelX + 1 122051 KachelY 115737 2.70915388 -1.39101815 155.223083 -79.699469
    Unten links KachelX 122050 KachelY + 1 115738 2.70910595 -1.39102672 155.220337 -79.699960
    Unten rechts KachelX + 1 122051 KachelY + 1 115738 2.70915388 -1.39102672 155.223083 -79.699960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39101815--1.39102672) × R
    8.56999999987451e-06 × 6371000     		dl = 54.5994699992005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39101815--1.39102672) × R
    8.56999999987451e-06 × 6371000     		dr = 54.5994699992005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70910595-2.70915388) × cos(-1.39101815) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178811329661736 × 6371000     		do = 54.6021906125403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70910595-2.70915388) × cos(-1.39102672) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17880289777459 × 6371000     		du = 54.5996158343648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39101815)-sin(-1.39102672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178811329661736-0.17880289777459)×R²
    abs(2.70915388-2.70910595)×8.43188714561016e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.43188714561016e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.43188714561016e-06×40589641000000     		ar = 2981.18037747665m²