Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12205 / 20333
↖ ↑ ↗
← S 39.749433°
W 45.911865°		 ← 939.21 m → S 39.749433°
W 45.900879°		 →
↑
939.21 m
↓
↑
939.21 m
↓
S 39.757880°
W 45.911865°		 ← 939.09 m →
882 060 m²		 S 39.757880°
W 45.900879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372482299804688 y=0.620529174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372482299804688 × 215)
    floor (0.372482299804688 × 32768)
    floor (12205.5)     		tx = 12205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620529174804688 × 215)
    floor (0.620529174804688 × 32768)
    floor (20333.5)     		ty = 20333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12205 / 20333 ti = "15/12205/20333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12205/20333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12205 ÷ 215
    12205 ÷ 32768     		x = 0.372467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20333 ÷ 215
    20333 ÷ 32768     		y = 0.620513916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.25506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80131321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620513916015625 × 2 - 1) × π
    -0.24102783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.757211266398407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80131321} λ = -0.80131321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.757211266398407))-π/2
    2×atan(0.468972444310001)-π/2
    2×0.438518916543384-π/2
    0.877037833086768-1.57079632675     		φ = -0.69375849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80131321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.911865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69375849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.749433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12205 KachelY 20333 -0.80131321 -0.69375849 -45.911865 -39.749433
    Oben rechts KachelX + 1 12206 KachelY 20333 -0.80112147 -0.69375849 -45.900879 -39.749433
    Unten links KachelX 12205 KachelY + 1 20334 -0.80131321 -0.69390591 -45.911865 -39.757880
    Unten rechts KachelX + 1 12206 KachelY + 1 20334 -0.80112147 -0.69390591 -45.900879 -39.757880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69375849--0.69390591) × R
    0.000147420000000009 × 6371000     		dl = 939.212820000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69375849--0.69390591) × R
    0.000147420000000009 × 6371000     		dr = 939.212820000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80131321--0.80112147) × cos(-0.69375849) × R
    0.000191739999999996 × 0.768848154596272 × 6371000     		do = 939.206099628923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80131321--0.80112147) × cos(-0.69390591) × R
    0.000191739999999996 × 0.768753881265084 × 6371000     		du = 939.09093763347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69375849)-sin(-0.69390591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768848154596272-0.768753881265084)×R²
    abs(-0.80112147--0.80131321)×9.4273331187722e-05×R²
    0.000191739999999996×9.4273331187722e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.4273331187722e-05×40589641000000     		ar = 882060.330179567m²