Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122049 / 115738
↖ ↑ ↗
← S 79.699960°
E155.217590°		 ← 54.61 m → S 79.699960°
E155.220337°		 →
↑
54.66 m
↓
↑
54.66 m
↓
S 79.700452°
E155.217590°		 ← 54.61 m →
2 985 m²		 S 79.700452°
E155.220337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931163787841797 y=0.883014678955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931163787841797 × 217)
    floor (0.931163787841797 × 131072)
    floor (122049.5)     		tx = 122049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883014678955078 × 217)
    floor (0.883014678955078 × 131072)
    floor (115738.5)     		ty = 115738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122049 / 115738 ti = "17/122049/115738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122049/115738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122049 ÷ 217
    122049 ÷ 131072     		x = 0.931159973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115738 ÷ 217
    115738 ÷ 131072     		y = 0.883010864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931159973144531 × 2 - 1) × π
    0.862319946289062 × 3.1415926535     		Λ = 2.70905801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883010864257812 × 2 - 1) × π
    -0.766021728515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40652823472606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70905801} λ = 2.70905801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40652823472606))-π/2
    2×atan(0.0901276540987478)-π/2
    2×0.0898848011548002-π/2
    0.1797696023096-1.57079632675     		φ = -1.39102672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70905801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.217590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39102672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.699960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122049 KachelY 115738 2.70905801 -1.39102672 155.217590 -79.699960
    Oben rechts KachelX + 1 122050 KachelY 115738 2.70910595 -1.39102672 155.220337 -79.699960
    Unten links KachelX 122049 KachelY + 1 115739 2.70905801 -1.39103530 155.217590 -79.700452
    Unten rechts KachelX + 1 122050 KachelY + 1 115739 2.70910595 -1.39103530 155.220337 -79.700452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39102672--1.39103530) × R
    8.58000000003578e-06 × 6371000     		dl = 54.663180000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39102672--1.39103530) × R
    8.58000000003578e-06 × 6371000     		dr = 54.663180000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70905801-2.70910595) × cos(-1.39102672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17880289777459 × 6371000     		do = 54.6110073669128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70905801-2.70910595) × cos(-1.39103530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178794456035448 × 6371000     		du = 54.6084290424884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39102672)-sin(-1.39103530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17880289777459-0.178794456035448)×R²
    abs(2.70910595-2.70905801)×8.44173914235635e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.44173914235635e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.44173914235635e-06×40589641000000     		ar = 2985.14085589209m²