Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122047 / 115911
↖ ↑ ↗
← S 79.784575°
E155.212097°		 ← 54.17 m → S 79.784575°
E155.214844°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
S 79.785062°
E155.212097°		 ← 54.16 m →
2 933 m²		 S 79.785062°
E155.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931148529052734 y=0.884334564208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931148529052734 × 217)
    floor (0.931148529052734 × 131072)
    floor (122047.5)     		tx = 122047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884334564208984 × 217)
    floor (0.884334564208984 × 131072)
    floor (115911.5)     		ty = 115911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122047 / 115911 ti = "17/122047/115911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122047/115911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122047 ÷ 217
    122047 ÷ 131072     		x = 0.931144714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115911 ÷ 217
    115911 ÷ 131072     		y = 0.884330749511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931144714355469 × 2 - 1) × π
    0.862289428710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.70896213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884330749511719 × 2 - 1) × π
    -0.768661499023438 × 3.1415926535     		Φ = -2.41482131836033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70896213} λ = 2.70896213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41482131836033))-π/2
    2×atan(0.089383308651111)-π/2
    2×0.0891464042995209-π/2
    0.178292808599042-1.57079632675     		φ = -1.39250352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70896213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.212097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39250352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.784575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122047 KachelY 115911 2.70896213 -1.39250352 155.212097 -79.784575
    Oben rechts KachelX + 1 122048 KachelY 115911 2.70901007 -1.39250352 155.214844 -79.784575
    Unten links KachelX 122047 KachelY + 1 115912 2.70896213 -1.39251202 155.212097 -79.785062
    Unten rechts KachelX + 1 122048 KachelY + 1 115912 2.70901007 -1.39251202 155.214844 -79.785062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39250352--1.39251202) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dl = 54.1535000004962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39250352--1.39251202) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dr = 54.1535000004962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70896213-2.70901007) × cos(-1.39250352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17734970208293 × 6371000     		do = 54.1671639974229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70896213-2.70901007) × cos(-1.39251202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177341336819399 × 6371000     		du = 54.1646090306186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39250352)-sin(-1.39251202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17734970208293-0.177341336819399)×R²
    abs(2.70901007-2.70896213)×8.36526353123479e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.36526353123479e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.36526353123479e-06×40589641000000     		ar = 2933.27233547236m²