Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122043 / 115806
↖ ↑ ↗
← S 79.733302°
E155.201111°		 ← 54.42 m → S 79.733302°
E155.203857°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
S 79.733791°
E155.201111°		 ← 54.42 m →
2 961 m²		 S 79.733791°
E155.203857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931118011474609 y=0.883533477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931118011474609 × 217)
    floor (0.931118011474609 × 131072)
    floor (122043.5)     		tx = 122043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883533477783203 × 217)
    floor (0.883533477783203 × 131072)
    floor (115806.5)     		ty = 115806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122043 / 115806 ti = "17/122043/115806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122043/115806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122043 ÷ 217
    122043 ÷ 131072     		x = 0.931114196777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115806 ÷ 217
    115806 ÷ 131072     		y = 0.883529663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931114196777344 × 2 - 1) × π
    0.862228393554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.70877039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883529663085938 × 2 - 1) × π
    -0.767059326171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.40978794390022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70877039} λ = 2.70877039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40978794390022))-π/2
    2×atan(0.0898343424728553)-π/2
    2×0.0895938452784711-π/2
    0.179187690556942-1.57079632675     		φ = -1.39160864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70877039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.201111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39160864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.733302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122043 KachelY 115806 2.70877039 -1.39160864 155.201111 -79.733302
    Oben rechts KachelX + 1 122044 KachelY 115806 2.70881832 -1.39160864 155.203857 -79.733302
    Unten links KachelX 122043 KachelY + 1 115807 2.70877039 -1.39161718 155.201111 -79.733791
    Unten rechts KachelX + 1 122044 KachelY + 1 115807 2.70881832 -1.39161718 155.203857 -79.733791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39160864--1.39161718) × R
    8.53999999983479e-06 × 6371000     		dl = 54.4083399989475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39160864--1.39161718) × R
    8.53999999983479e-06 × 6371000     		dr = 54.4083399989475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70877039-2.70881832) × cos(-1.39160864) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.178230325223732 × 6371000     		do = 54.4247739174079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70877039-2.70881832) × cos(-1.39161718) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.178221921952912 × 6371000     		du = 54.422207877572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39160864)-sin(-1.39161718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178230325223732-0.178221921952912)×R²
    abs(2.70881832-2.70877039)×8.40327081913506e-06×R²
    4.79299999995852e-05×8.40327081913506e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×8.40327081913506e-06×40589641000000     		ar = 2961.09179661586m²