Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122042 / 115770
↖ ↑ ↗
← S 79.715664°
E155.198364°		 ← 54.53 m → S 79.715664°
E155.201111°		 →
↑
54.54 m
↓
↑
54.54 m
↓
S 79.716154°
E155.198364°		 ← 54.53 m →
2 974 m²		 S 79.716154°
E155.201111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931110382080078 y=0.883258819580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931110382080078 × 217)
    floor (0.931110382080078 × 131072)
    floor (122042.5)     		tx = 122042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883258819580078 × 217)
    floor (0.883258819580078 × 131072)
    floor (115770.5)     		ty = 115770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122042 / 115770 ti = "17/122042/115770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122042/115770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122042 ÷ 217
    122042 ÷ 131072     		x = 0.931106567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115770 ÷ 217
    115770 ÷ 131072     		y = 0.883255004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931106567382812 × 2 - 1) × π
    0.862213134765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.70872245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883255004882812 × 2 - 1) × π
    -0.766510009765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.4080622155139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70872245} λ = 2.70872245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4080622155139))-π/2
    2×atan(0.0899895059942658)-π/2
    2×0.0897477644929311-π/2
    0.179495528985862-1.57079632675     		φ = -1.39130080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70872245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.198364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39130080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.715664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122042 KachelY 115770 2.70872245 -1.39130080 155.198364 -79.715664
    Oben rechts KachelX + 1 122043 KachelY 115770 2.70877039 -1.39130080 155.201111 -79.715664
    Unten links KachelX 122042 KachelY + 1 115771 2.70872245 -1.39130936 155.198364 -79.716154
    Unten rechts KachelX + 1 122043 KachelY + 1 115771 2.70877039 -1.39130936 155.201111 -79.716154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39130080--1.39130936) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dl = 54.5357599995877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39130080--1.39130936) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dr = 54.5357599995877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70872245-2.70877039) × cos(-1.39130080) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.178533227884949 × 6371000     		do = 54.5286432418186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70872245-2.70877039) × cos(-1.39130936) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.178524805404368 × 6371000     		du = 54.5260707994544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39130080)-sin(-1.39130936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178533227884949-0.178524805404368)×R²
    abs(2.70877039-2.70872245)×8.4224805810551e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.4224805810551e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.4224805810551e-06×40589641000000     		ar = 2973.69085596634m²