Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122040 / 115672
↖ ↑ ↗
← S 79.667498°
E155.192871°		 ← 54.77 m → S 79.667498°
E155.195618°		 →
↑
54.79 m
↓
↑
54.79 m
↓
S 79.667990°
E155.192871°		 ← 54.77 m →
3 001 m²		 S 79.667990°
E155.195618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931095123291016 y=0.882511138916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931095123291016 × 217)
    floor (0.931095123291016 × 131072)
    floor (122040.5)     		tx = 122040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882511138916016 × 217)
    floor (0.882511138916016 × 131072)
    floor (115672.5)     		ty = 115672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122040 / 115672 ti = "17/122040/115672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122040/115672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122040 ÷ 217
    122040 ÷ 131072     		x = 0.93109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115672 ÷ 217
    115672 ÷ 131072     		y = 0.88250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93109130859375 × 2 - 1) × π
    0.8621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70862658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88250732421875 × 2 - 1) × π
    -0.7650146484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40336439935114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70862658} λ = 2.70862658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40336439935114))-π/2
    2×atan(0.0904132547174797)-π/2
    2×0.0901680932934546-π/2
    0.180336186586909-1.57079632675     		φ = -1.39046014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70862658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39046014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.667498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122040 KachelY 115672 2.70862658 -1.39046014 155.192871 -79.667498
    Oben rechts KachelX + 1 122041 KachelY 115672 2.70867451 -1.39046014 155.195618 -79.667498
    Unten links KachelX 122040 KachelY + 1 115673 2.70862658 -1.39046874 155.192871 -79.667990
    Unten rechts KachelX + 1 122041 KachelY + 1 115673 2.70867451 -1.39046874 155.195618 -79.667990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39046014--1.39046874) × R
    8.59999999991423e-06 × 6371000     		dl = 54.7905999994536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39046014--1.39046874) × R
    8.59999999991423e-06 × 6371000     		dr = 54.7905999994536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70862658-2.70867451) × cos(-1.39046014) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.179360318560251 × 6371000     		do = 54.7698309770383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70862658-2.70867451) × cos(-1.39046874) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17935185801595 × 6371000     		du = 54.7672474480557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39046014)-sin(-1.39046874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179360318560251-0.17935185801595)×R²
    abs(2.70867451-2.70862658)×8.46054430095333e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.46054430095333e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.46054430095333e-06×40589641000000     		ar = 3000.80112458939m²