Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12204 / 20364
↖ ↑ ↗
← S 40.010787°
W 45.922851°		 ← 935.68 m → S 40.010787°
W 45.911865°		 →
↑
935.65 m
↓
↑
935.65 m
↓
S 40.019201°
W 45.922851°		 ← 935.57 m →
875 412 m²		 S 40.019201°
W 45.911865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372451782226562 y=0.621475219726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372451782226562 × 215)
    floor (0.372451782226562 × 32768)
    floor (12204.5)     		tx = 12204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621475219726562 × 215)
    floor (0.621475219726562 × 32768)
    floor (20364.5)     		ty = 20364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12204 / 20364 ti = "15/12204/20364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12204/20364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12204 ÷ 215
    12204 ÷ 32768     		x = 0.3724365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20364 ÷ 215
    20364 ÷ 32768     		y = 0.6214599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3724365234375 × 2 - 1) × π
    -0.255126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80150496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6214599609375 × 2 - 1) × π
    -0.242919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.763155441951294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80150496} λ = -0.80150496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763155441951294))-π/2
    2×atan(0.466193058533765)-π/2
    2×0.436238177447937-π/2
    0.872476354895873-1.57079632675     		φ = -0.69831997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80150496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.922851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69831997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.010787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12204 KachelY 20364 -0.80150496 -0.69831997 -45.922851 -40.010787
    Oben rechts KachelX + 1 12205 KachelY 20364 -0.80131321 -0.69831997 -45.911865 -40.010787
    Unten links KachelX 12204 KachelY + 1 20365 -0.80150496 -0.69846683 -45.922851 -40.019201
    Unten rechts KachelX + 1 12205 KachelY + 1 20365 -0.80131321 -0.69846683 -45.911865 -40.019201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69831997--0.69846683) × R
    0.000146859999999971 × 6371000     		dl = 935.645059999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69831997--0.69846683) × R
    0.000146859999999971 × 6371000     		dr = 935.645059999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80150496--0.80131321) × cos(-0.69831997) × R
    0.000191750000000046 × 0.765923412432855 × 6371000     		do = 935.682103122138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80150496--0.80131321) × cos(-0.69846683) × R
    0.000191750000000046 × 0.765828983206317 × 6371000     		du = 935.566744672652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69831997)-sin(-0.69846683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765923412432855-0.765828983206317)×R²
    abs(-0.80131321--0.80150496)×9.44292265379065e-05×R²
    0.000191750000000046×9.44292265379065e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.44292265379065e-05×40589641000000     		ar = 875412.371808077m²