Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12204 / 20316
↖ ↑ ↗
← S 39.605688°
W 45.922851°		 ← 941.21 m → S 39.605688°
W 45.911865°		 →
↑
941.12 m
↓
↑
941.12 m
↓
S 39.614152°
W 45.922851°		 ← 941.10 m →
885 743 m²		 S 39.614152°
W 45.911865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372451782226562 y=0.620010375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372451782226562 × 215)
    floor (0.372451782226562 × 32768)
    floor (12204.5)     		tx = 12204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620010375976562 × 215)
    floor (0.620010375976562 × 32768)
    floor (20316.5)     		ty = 20316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12204 / 20316 ti = "15/12204/20316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12204/20316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12204 ÷ 215
    12204 ÷ 32768     		x = 0.3724365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20316 ÷ 215
    20316 ÷ 32768     		y = 0.6199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3724365234375 × 2 - 1) × π
    -0.255126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80150496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6199951171875 × 2 - 1) × π
    -0.239990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.753951557224243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80150496} λ = -0.80150496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753951557224243))-π/2
    2×atan(0.470503652379798)-π/2
    2×0.439773332790803-π/2
    0.879546665581606-1.57079632675     		φ = -0.69124966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80150496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.922851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69124966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.605688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12204 KachelY 20316 -0.80150496 -0.69124966 -45.922851 -39.605688
    Oben rechts KachelX + 1 12205 KachelY 20316 -0.80131321 -0.69124966 -45.911865 -39.605688
    Unten links KachelX 12204 KachelY + 1 20317 -0.80150496 -0.69139738 -45.922851 -39.614152
    Unten rechts KachelX + 1 12205 KachelY + 1 20317 -0.80131321 -0.69139738 -45.911865 -39.614152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69124966--0.69139738) × R
    0.000147719999999962 × 6371000     		dl = 941.12411999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69124966--0.69139738) × R
    0.000147719999999962 × 6371000     		dr = 941.12411999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80150496--0.80131321) × cos(-0.69124966) × R
    0.000191750000000046 × 0.770449957940872 × 6371000     		do = 941.211908781645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80150496--0.80131321) × cos(-0.69139738) × R
    0.000191750000000046 × 0.770355777964203 × 6371000     		du = 941.096854825581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69124966)-sin(-0.69139738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770449957940872-0.770355777964203)×R²
    abs(-0.80131321--0.80150496)×9.41799766696061e-05×R²
    0.000191750000000046×9.41799766696061e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.41799766696061e-05×40589641000000     		ar = 885743.09096969m²